宇宙際相対性理論

概要[編集]

宇宙際相対性理論は、代数幾何学と圏論の境界領域で導入された定理である。命名は東京都文京区にあった旧・国際位相研究会の夜間セミナーで定着したとされ、当初は「宇宙をまたぐ比較の作法」を意味する研究者内の隠語であった^[3]。

この定理は、複数の宇宙層のあいだで定義される射影型写像が、ある「際」の条件を満たす場合に限り同一の相対距離を与えるという主張である。なお、実際には宇宙層の数を3層以上に拡張すると証明が急に雑になるため、後年の注釈で「4層目は形式的存在にすぎない」と補足されている^[4]。

定理の主張[編集]

宇宙際相対性理論は、連結位相空間X、比較場F、ならびに宇宙際写像Φが与えられたとき、Fが「再帰的に測地化可能」であれば、Φの作用はX上の宇宙際不変量Iを保存する、という形で定式化される。ここで I は、局所観測者が 2.7182818±0.0004 の誤差範囲でしか確定できない量として定義される^[5]。

より厳密には、任意の点 p ∈ X に対して、p の近傍 U が補助宇宙U' と共役であり、かつ共役写像が境界層をまたいでも可換図式をなすとき、I(Φ(p)) = I(p) が成り立つ。これを論文では「際の保存則」と呼び、後にオックスフォード大学のMargaret A. Thorntonが「測る者がずれるのであって、対象はずれない」と要約したとされる^[6]。

この定理の特殊例として、閉宇宙における自己同型群が有限生成である場合、宇宙際相対性理論は剰余圏上の定理へと退化する。逆に、開宇宙では定理は成立するが、証明に必要な補題が 17 個から 19 個へ増えるため、通常は研究者の気力が先に尽きるとされている。

証明[編集]

証明は七つの補題から構成される。第一補題では北條恒一郎が、比較場の座標変換を「宇宙をまたぐのではなく、宇宙の側が勝手に寄ってくる」と再解釈し、以後の議論を簡略化した。第二補題では京都大学理学部の演習ノートに現れる「ずれの符号規約」が採用され、これにより符号反転が 1 回だけで済むことが示された^[7]。

第三補題から第五補題までは、東京都港区の貸会議室「芝浦サテライト 402 号室」で行われた非公式な合宿の記録に基づく。そこでは黒板が 1 枚しかなかったため、証明の途中で新しい補題を追加するたびに古い補題がチョークで塗りつぶされ、その結果として「証明が見た目より短い」という奇妙な現象が生じた。なお、この部分は後の版では「編集上の都合」とだけ記されている^[8]。

第六補題では、補助宇宙 U' の存在が選択公理に依存することが示されるが、実際の証明では米国数学会の講演時間が 50 分しか与えられず、選択公理の代わりに「相手が黙認する」という補題が用いられた。最終補題において宇宙際不変量 I の保存が導かれ、定理全体が証明されたとされる。ただし、証明の最後の 3 行は写し間違いの可能性が高く、赤鉛筆で「要再確認」と書かれた原稿がプリンストン高等研究所に保存されている。

歴史的背景[編集]

宇宙際相対性理論の起源は、1979年に神戸で開かれた小規模な研究集会にさかのぼるとされる。集会では位相群の比較に関する議論が紛糾し、参加者のひとりが「宇宙が違うなら相対化すればよい」と発言したことが契機になったという^[9]。

その後、1983年ごろから文部省科学研究費の「多層比較幾何」枠に紛れ込む形で研究が進み、1987年に北條とソープン名義の予稿集として公表された。公表当初は「理論」という語が付いていたが、実態は定理 1 本と補題 14 本にすぎず、編集担当者が「これでは理論というより長い定理ではないか」と疑問を呈した記録が残る^[10]。

一方で、1980年代後半にはパリとボンの数理物理学者のあいだで「宇宙際」をめぐる解釈戦争が起こり、あるグループはこれを天文学的概念、別のグループは純粋圏論的概念として扱った。結果として、会議資料の脚注だけが増え続け、1989年版の要旨は本文 2 ページ、脚注 11 ページという珍しい体裁になった。

一般化[編集]

宇宙際相対性理論の一般化として最も有名なのは、多宇宙係数を導入した超宇宙際相対性定理である。これは宇宙層が可算無限個ある場合にも不変量が保存されることを述べるが、証明にはヒルベルト空間よりも紙幅が必要であることが知られている。

また、有限宇宙版では、比較場Fを有限体上に制限することで、定理が非常にきれいにまとまることが示された。この場合、定理の主張はほぼ自明になる一方、研究者の大半が「自明すぎて会議で採択されない」と感じたため、実際にはあまり使われない。

さらに東京工業大学の古賀真理子は、宇宙際不変量 I を確率過程に拡張し、ランダムな宇宙境界に対しても平均保存が成立することを示した。ただし彼女の定式化では「平均的には正しいが、個別にはだいたい間違う」という特性があるため、現在でも賛否が分かれている。

応用[編集]

宇宙際相対性理論の応用は、理論数学にとどまらない。まず暗号理論では、宇宙際変換を用いた鍵交換方式が提案され、1 回の交換につき鍵長が 4096 ビット増えると宣伝された。もっとも、実装すると通信のたびに補助宇宙が必要になるため、実用化には至っていない。

都市計画への応用も一部で試みられた。大阪市の再開発計画では、区画の相対位置を宇宙際不変量で評価する手法が導入され、図面上では道路が 12 本あるのに現地では 11 本しか見つからないという現象が報告された。市の担当課はこれを「測量誤差」と説明したが、現場では「道路が別宇宙に逃げた」と呼ばれた^[11]。

教育面では、高校数学の発展講座で「相対性」の説明例として使用されることがある。ただし、定理の核心を理解する前に補題の数で挫折する生徒が多く、ある調査では受講者の 68.4% が「宇宙より先に黒板が足りない」と回答した。

脚注[編集]

^[1] 北條 恒一郎「宇宙際比較場の保存条件」『数学構造研究』第12巻第4号、1987年、pp. 211-238。

^[2] M. E. Thornton, “On Intercosmic Invariants,” Journal of Abstract Geometry, Vol. 19, No. 2, 1989, pp. 45-71。

^[3] 佐伯 雅人『文京区夜間セミナー史』北辰書房、1994年、pp. 88-93。

^[4] 北條 恒一郎・S. N. Sarpong「四層宇宙の形式的扱い」『位相と隣接』第7巻第1号、1990年、pp. 1-29。

^[5] A. L. Kramer, “The Constant 2.7182818 in Intercosmic Models,” Annals of Comparative Topology, Vol. 8, No. 1, 1991, pp. 101-118。

^[6] Margaret A. Thornton, lecture notes for the Princeton Summer School on Comparative Fields, 1992.

^[7] 京都大学理学部数学教室編『宇宙際相対性理論演習ノート』内部資料、1986年、pp. 14-19。

^[8] 芝浦サテライト合宿記録編集委員会『黒板一枚証明集』海鳴社、1990年、pp. 55-60。

^[9] 神戸位相研究会議事録『第3回比較幾何集会報告』神戸学術資料館、1979年、pp. 3-7。

^[10] 編集部「理論か定理か」『数理通信』第21巻第9号、1988年、pp. 2-4。

^[11] 大阪市都市整備局『宇宙際測量試験報告書』市政資料第44号、1993年、pp. 17-21。

関連項目[編集]

比較場

宇宙際不変量

相対位相

補助宇宙

剰余圏

多宇宙係数

黒板一枚証明

文京区夜間セミナー

脚注

1. ^ 北條 恒一郎『宇宙際比較場の保存条件』数学構造研究社, 1987.
2. ^ Margaret A. Thornton, “On Intercosmic Invariants,” Journal of Abstract Geometry, Vol. 19, No. 2, 1989, pp. 45-71.
3. ^ 佐伯 雅人『文京区夜間セミナー史』北辰書房, 1994.
4. ^ 北條 恒一郎・S. N. Sarpong「四層宇宙の形式的扱い」位相と隣接, 第7巻第1号, 1990, pp. 1-29.
5. ^ A. L. Kramer, “The Constant 2.7182818 in Intercosmic Models,” Annals of Comparative Topology, Vol. 8, No. 1, 1991, pp. 101-118.
6. ^ 京都大学理学部数学教室編『宇宙際相対性理論演習ノート』内部資料, 1986.
7. ^ 芝浦サテライト合宿記録編集委員会『黒板一枚証明集』海鳴社, 1990.
8. ^ 神戸位相研究会議事録『第3回比較幾何集会報告』神戸学術資料館, 1979.
9. ^ 編集部「理論か定理か」数理通信, 第21巻第9号, 1988, pp. 2-4.
10. ^ 大野 里美『補助宇宙と選択公理』東京数理出版, 1995.
11. ^ M. E. Thornton, “Lecture Notes on Comparative Fields,” Princeton Summer School Notes, 1992.
12. ^ 京都工業情報大学比較数学センター『宇宙際不変量の応用可能性』研究報告, 1998.

外部リンク

• 国際比較幾何学会アーカイブ
• 宇宙際定理データベース
• 文京区夜間セミナー記録室
• 芝浦サテライト資料館
• 比較場研究会オープンノート