選択公理
| name | 選択公理 |
|---|---|
| field | 集合論・順序論 |
| statement | 任意の非空集合族に対し、各集合からちょうど1つの元を選ぶ選択関数が存在する |
| proved_by | アルマン・デュルヴィル |
| year | 1897年 |
における選択公理（せんたくこうり、英: Axiom of Choice）は、から要素を一つずつ選ぶ写像の存在について述べた定理である[1]。しばしばを統一的に保証する補題として知られ、ので最初に定式化されたとされる[2]。
概要[編集]
選択公理は、が無数に並んでいても、各集合から1つずつ要素を取り出す手続きが常に可能であることを主張する定理である。通常の計算規則では構成できない選択関数の存在を仮定する点に特色があり、において最も議論の多い命題の一つである。
本定理は、の整列やの変種、さらにはの基底存在定理へと連鎖的に適用されるとされる。ただし、初期の研究者はこれを「無限の袋からの抽選を合法化する便利な約束事」と呼び、の数学会では5回にわたって採否が延期された記録がある[3]。
定理の主張[編集]
選択公理は、集合族 \(\mathcal{F}=\{A_i\}_{i\in I}\) の各要素が空でないとき、写像 \(f:I\to \bigcup_{i\in I}A_i\) であって \(f(i)\in A_i\) を満たすものが存在する、という形で定式化される。このとき \(f\) は選択関数と呼ばれる。
デュルヴィル版の定式化では、各集合に「候補の香り」が付与されている場合、最小の香気指数をもつ元を選ぶという補助規則が付いていたが、後年のによる簡略化で削除された。現在一般に用いられる文言はこの簡略化版に近いが、の草稿では「選択は任意であるほどよい」といったやや詩的な一文が含まれていたとされる[4]。
なお、選択公理そのものは単独では計算手順を与えないため、具体的な選択対象を生成するアルゴリズムとは区別される。この点がしばしば誤解され、の高校向け講義録では「公理なのに何も選べない」との学生の感想が多数引用されている。
証明[編集]
選択公理は、標準的な公理系の内部では証明される命題ではなく、採用されるべき前提として扱われるのが通常である。しかし派の初期論文では、とを組み合わせることで、事実上の導出が可能であるかのように示されていた。
その証明は、まず各集合に対して局所的な順位付けを行い、次にその順位を上の単調列へ埋め込むことで、全体として矛盾なく一つずつ選べることを示すというものである。証明の第2段では、の印刷所で誤って1行欠落したため、「ゆえに自明である」という結論だけが残り、当時の読者の半数が納得した、という逸話がある[5]。
もっとも、後世の再検討によれば、この証明は厳密には「選べることを選んでいる」循環を含むと指摘されている。これに対し、のは「循環は悪いことではない。むしろ集合論では閉路が美しい」と反論したが、同時代の査読者からは「論理ではなく円環装飾である」と評された。
歴史的背景[編集]
19世紀末の成立[編集]
選択公理の起源は、にの若手講師であったが、薬局の在庫整理から着想を得たことにあるとされる。彼は、無数の瓶から一つずつラベルを選ぶ作業が、規則を明示しなくても実施される場面に注目し、これを集合論へ翻訳した。
当初はの内部報告にすぎなかったが、にで開催された非公式討論会で、参加者のうち14名中9名が「便利ではあるが気味が悪い」と回答したことで一気に話題化した。なお、この会合では同時に3種類の紅茶が出され、後年の記録ではこれが選択公理の直観的理解に寄与したとも書かれている。
公理化運動との関係[編集]
、との数学者たちは、集合論をより堅固にするため、いくつかの存在原理を公理として明示する方針を採った。その過程で、選択公理は「証明が難しいが、採用すると多くの定理が急に整列する」性質を持つため、半ば道具的に受け入れられた。
一方で派は、選択を公理として固定するのは「机の上の鍵を机の上に置くようなものだ」と批判し、代替としてを提案した。しかしのでは、投票用紙の回収時点で3票が未選択のまま紛失し、この出来事が選択公理支持派を勢いづけたと伝えられる[6]。
受容の広がり[編集]
選択公理が広く受け入れられたのは、にの解析学者たちが、関数空間の基底構成において極めて高い作業効率を示したためである。彼らは、これを「非建設的だが時間に優しい原理」と呼び、講義ノートの余白に小さくハートを描いたことで知られる。
なお、にはの演習で、選択公理を用いた証明を10分で終えた学生がいたが、教員は「説明が短すぎて逆に怪しい」として再提出を命じた。これが日本における選択公理論争の火種になったとする説が有力である。
一般化[編集]
選択公理には、多くの一般化が存在するとされる。代表的なものに、任意個の集合族に対してではなく、の開被覆から局所的に選択を行う、および各集合に選択関数を与える代わりに「選択候補の優先度」を与えるがある。
にが提案したは、選択を1回行うごとに反省期間を挟むという奇妙な条件を付したもので、当時の査読者からは「数学というより選挙制度である」と評された。それでもこの一般化は、に対する反復的な構成法の研究に影響を与えた。
また、選択公理を弱めたやは、局所的な無限過程を扱う際に用いられる。もっとも、のある報告書では、これらの区別が「使い分け」というより「研究室の派閥」として機能していたと記録されている。
応用[編集]
選択公理は、における基底の存在、における極限構成、における整列可能性の証明に適用されるとされる。特にでは、具体的な基底を与えずに存在のみを保証するため、しばしば「見えない道具箱」と呼ばれる。
、の計算数学研究所では、選択公理を用いた補題を投入すると収束率が平均で17%向上したという報告が出された。ただし、この数字は実験中にコーヒーの提供回数を同時に増やしたため、純粋な公理効果かどうかは不明である[7]。
社会的には、「選べることを保証するが、どう選ぶかは教えない」という性格が、やの比喩としてしばしば引用された。なお、のの企業研修では、選択公理を「会議室で最初に発言する人を毎回決める仕組み」と説明したところ、参加者の6割が会議の設計原理だと誤解したという。
脚注[編集]
[1] ただし、この定義は後世の教科書に合わせて整形されたもので、初版草稿では「よくわからないが便利である」と注記されていた。
[2] 実際にはよりも先にで口頭発表があったとする異説があり、とされることがある。
[3] 会議議事録の第2版のみ確認されており、初版は印刷工程で失われたと記録される。
[4] 草稿の所在はとされるが、閲覧には「選択の権限」を示す署名が必要である。
[5] この逸話はの回顧録にのみ見える。
[6] 票の紛失と選択公理の支持増加の因果関係は確定していない。
[7] 実験条件の不備については、後年の再現試験でほぼ同じ結果が得られなかった。
関連項目[編集]
脚注
- ^ Armand Durville, "Sur une règle de prélèvement dans les familles d’ensembles", Annales de Mathématiques de Genève, Vol. 12, No. 3, 1897, pp. 201-248.
- ^ Lucien Vau, "Sur la nécessité pratique de choisir sans choisir", Bulletin de la Société Mathématique de Strasbourg, Vol. 4, No. 1, 1908, pp. 17-39.
- ^ Emilie Nordan, "A Simplified Form of the Choice Principle", Journal of Abstract Structures, Vol. 7, No. 2, 1911, pp. 88-104.
- ^ Marguerite Bellot, "Le choix à trois temps et ses conséquences", Revue des Mathématiques Modernes, 第18巻第4号, 1956, pp. 412-447.
- ^ H. T. Wainwright, "On Invisible Bases in Infinite Dimensions", Proceedings of the London Colloquium, Vol. 21, No. 6, 1934, pp. 501-530.
- ^ 小倉 恒一『公理と抽選のあいだ』岩波集合論選書, 1949, pp. 33-71.
- ^ 渡辺 精一郎「選択原理の受容史と会議室文化」『数理史研究』第9巻第2号, 1978, pp. 115-162.
- ^ Jean-Paul Perrin, "Le principe de choix et la géométrie des listes vides", Cahiers de Logique Appliquée, Vol. 15, No. 5, 1962, pp. 77-93.
- ^ 佐伯 直人『無限に選ぶ技法』東京数理出版, 1983, pp. 9-58.
- ^ M. A. Thornton, "Decision Without Algorithm: A Sociological Reading of Choice Axioms", Cambridge Review of Mathematics, Vol. 3, No. 1, 1991, pp. 1-29.
- ^ 加納 みどり『選択公理のはじまりは薬局だった』北大路数学社, 2004, pp. 141-176.
- ^ R. Feldman, "The Strange Case of the Optional Axiom", Journal of Set-Theoretic Folklore, Vol. 2, No. 4, 2008, pp. 60-66.
外部リンク
- Stanford Encyclopedia of Fictional Mathematics
- Annales de Genève Numériques
- 日本架空数学史資料館
- The Choice Principle Archive
- ストラスブール数学史研究会