神々の怒り
| 名称 | 神々の怒り |
|---|---|
| 分野 | 複素解析、位相的数論 |
| 主張 | 特定の怒り核をもつ特異点列は、中心角が一定条件を満たすとき、外接円周上で等角的に消滅する |
| 証明者 | 沢渡 恒一郎 |
| 年 | 1978年 |
| 初出 | 『Journal of Axiomatic Irregularities』第12巻第4号 |
| 適用対象 | 怒り核付きローレン展開 |
| 関連概念 | ゼウス型束縛、雷鳴補題、可換祭壇 |
における神々の怒り（かみがみのいかり、英: Wrath of the Gods theorem）は、に現れるのについて述べた定理である[1]。
概要[編集]
神々の怒りは、において、ある種のが「怒り核」と呼ばれる重み付けをもつとき、その配置がの対称性を破らずに収束する条件を与える定理である。名称は刺激的であるが、実際には理学部で導入された記号法に由来し、神話学的意味は直接には含まないとされる[1]。
この定理は、後半のブームの中で、とのあいだで交わされた書簡を契機に広まった。もっとも、初期の草稿では「怨念付き局所収束補題」と仮題されており、現在の名称に落ち着いたのは、沢渡恒一郎が図表番号を誤って『怒り図 1』と記したことがきっかけであるとされる[2]。
定理の主張[編集]
神々の怒り定理は、半径Rの閉円板上に配置された {z_n} が、各点に対応する怒り係数 a_n を用いて \nΣ a_n/(z - z_n) \nの形で表されるとき、係数列 {a_n} が「ゼウス条件」および「ヘラ整合条件」を満たせば、任意の境界点における発散方向は高々2本に制限される、という主張である。ここでゼウス条件とは Σ|a_n| < ∞ を、ヘラ整合条件とは隣接点間の偏角差が π/3 を超えないことをいう[3]。
より厳密には、列 {z_n} がに従って並ぶとき、ある正則関数 f が存在して f のの主部が怒り係数の符号と一致するなら、f は境界円上で「静穏極限」をもつ。なお、静穏極限は沢渡の定義であり、一般の教科書には掲載されていない[4]。
証明[編集]
証明は三段階からなる。第一段階では、流の局所座標変換を模倣した「神殿変換」を施し、特異点列をへ写す。これにより、怒り核のうち偶数番目のものが相殺され、残る奇数番目の項だけが支配的になることが示される。
第二段階では、の代わりに沢渡が導入した「供物測度」を用いる。供物測度は円周上の小区間に対して整数値しか取らないが、各小区間が回以上反復されるときに限り可算加法的になる。これにより、境界近傍での振動項が一様に抑えられ、等角消滅が得られる。
第三段階では、に似た「雷鳴補題」を適用する。すなわち、偏角差がπ/3以下であれば、隣接する怒り核の寄与は必ず3項ごとに周期打ち消しを起こす。沢渡はこの部分を板書で説明した際、黒板に「ここで神々が疲れる」と書き添えたとされるが、この記述は後年の講義ノートにしか見えず、真偽は定かでない[5]。
歴史的背景[編集]
本定理の背景には、からにかけて続いた「不連続現象の再分類」運動がある。当時、では特異点研究会が活発化しており、特にの牧野澄夫とのÉlise Montclairが、の境界挙動を「感情語」で整理する試みを行っていた。
沢渡恒一郎は春、の共同利用室で、偶然に氷結した計算用紙のしわからこの定理の着想を得たと述べたという。もっとも、彼の回想録では着想の時刻が3月14日午前11時17分、別のインタビューでは同日午後2時09分となっており、後年の編集者は「要出典」と赤字で付記している[6]。
定理名が一般に定着したのは、にで開かれた「環論と災厄のシンポジウム」において、発表タイトルが印刷所の誤植で『神々の怒り—ある特異点列の収束について—』となったためである。この誤植は参加者の好評を呼び、以後、同分野では怒り核を扱う問題群をまとめて「神々系列」と呼ぶ慣習が生まれた[7]。
一般化[編集]
後年、神々の怒りはので一般化され、球面上の特異点配置にも拡張された。この拡張では、円環領域の代わりに「雲状多様体」が用いられ、怒り係数にを導入することで、収束条件がより緩やかになった[8]。
また、にはのR. P. Ellisonが、怒り核を確率化した「確率的神々の怒り」を提案した。これは各特異点の出現確率を0.618ではなく0.666に固定するもので、計算上の扱いやすさは向上したが、宗教的配慮に欠けるとして査読で一度退けられたとされる。
さらに、の佐伯真由美は、怒り核を上で定義し直すことにより、有限体上でも静穏極限が成立する場合があることを示した。なお、彼女の論文では補題3.2の証明が本文の脚注にしかなく、編集者から「数学としては珍しく親切である」と評されたという。
応用[編集]
応用として最も有名なのは、への適用である。怒り核付きローレン展開を鍵生成に用いると、特異点の並び順が2,048通り以上に分岐するため、理論上は十分な難読化が得られるとされた。実際には、鍵の入力時に研究室の空調が強すぎると収束半径が1割ほど縮むため、実装は普及しなかった[9]。
また、では、以後の余震分布を模した「怒り分布モデル」が一部で検討された。このモデルでは、観測点ごとの震度差を怒り係数として置き換えることで、断層面の不規則性を説明しようとしたが、最終的には「数式はきれいだが、現地説明会で怒られる」として採用されなかった。
教育面では、の発展講座において、神々の怒りは「証明の流れを覚えると気持ちがいい定理」として紹介されることがある。特に、神殿変換と雷鳴補題の組み合わせは、可視化ソフト上で稲妻のような図形が出るため、受験生向けイベントで好評であったとされる。
脚注[編集]
[1] 沢渡恒一郎『怒り核付き特異点列の局所収束』数理評論社、1979年。 [2] M. L. Fournier, “On the Nomenclature of Irregular Theorems”, Journal of Axiomatic Irregularities, Vol. 12, No. 4, pp. 201-229. [3] 牧野澄夫「円環領域における偏角制約と収束半径」『日本解析学会誌』第33巻第2号、pp. 88-109. [4] É. Montclair, “Quiet Limits in God-Weighted Laurent Series”, Annales de Mathématique Symbolique, Vol. 7, No. 1, pp. 1-32. [5] 沢渡恒一郎講義ノート『雷鳴補題とその周辺』東京神数研内部資料、1978年。 [6] 国立極地研究所編『冬期共同利用室記録集 1978』pp. 44-45. [7] 『大阪市数学史資料館年報』第5号、pp. 12-18. [8] R. P. Ellison, “Stochastic Deities in Spherical Configurations”, Proceedings of the Bergen Workshop on Irregular Analysis, Vol. 3, pp. 77-96. [9] 佐伯真由美「怒り核暗号系における空調感度」『京都産業大学紀要 数学編』第14巻第1号、pp. 5-23.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 沢渡 恒一郎『怒り核付き特異点列の局所収束』数理評論社, 1979.
- ^ 牧野 澄夫『円環領域の偏角制約と収束半径』日本解析学会, 1981.
- ^ Élise Montclair, “Structures of Wrath in Laurent Expansions”, Annales de Mathématique Symbolique, Vol. 7, No. 1, pp. 1-32.
- ^ R. P. Ellison, “Stochastic Deities in Spherical Configurations”, Proceedings of the Bergen Workshop on Irregular Analysis, Vol. 3, pp. 77-96.
- ^ 佐伯 真由美『怒り核暗号系における空調感度』京都産業大学紀要 数学編, 第14巻第1号, pp. 5-23.
- ^ M. L. Fournier, “On the Nomenclature of Irregular Theorems”, Journal of Axiomatic Irregularities, Vol. 12, No. 4, pp. 201-229.
- ^ 牧野 澄夫・沢渡 恒一郎『神殿変換と供物測度』東京神数研出版部, 1978.
- ^ H. K. Ainsworth, “The Zeus Condition and Its Failures”, International Review of Symbolic Dynamics, Vol. 18, No. 2, pp. 141-168.
- ^ 国立極地研究所編『冬期共同利用室記録集 1978』国立極地研究所, 1979.
- ^ 田所 仁『可換祭壇の代数的構造』大阪数理出版, 1984.
外部リンク
- Journal of Axiomatic Irregularities
- 東京神数研アーカイブ
- 大阪市数学史資料館
- Bergen Workshop on Irregular Analysis
- 国際供物測度協会