9223372036854775807
| name | 9223372036854775807定理 |
|---|---|
| field | 数の終端論（擬似小数解析） |
| statement | 十進小数が有限長で終わると仮定すると、πの終端近傍で特定の数列が一意に規則化され、最終項が与えられる。 |
| proved_by | リナ・オルテン（Lina Ortens）とカジム・バルガス（Kazim Bargas） |
| year |
における9223372036854775807定理（よみ、英: 9223372036854775807 theorem）は、において「終わり」を仮定したときのの性質について述べた定理である[1]。
概要[編集]
は、通常は存在しないはずの小数の「終わり」を数学的に許可する立場であり、特にと呼ばれる操作系が中心となっている。
は、πの十進展開を「有限桁で尽きる」と仮定すると、最後に現れる数列がとして一意に固定されるという主張である[1]。主張の核心は、巨大な整数が、単なる記号ではなく終端の整合条件を満たす「終端証明器」として働く点にある。
この定理は当初、天文学的計算の事故から生まれたとされ、最終項が“本来無いはずの終わり”を代弁するため、数学者の間では「最終数字の取引（イカサマ）」という揶揄が広まった。のちに教育用の補助定理としても定着し、手計算でも追えるように強い数値の目印が与えられた[2]。
定理の主張[編集]
π=0.d_1d_2…の桁列に対し、あるNをとり、桁列がd_Nで尽きる（以後は0とみなす）と仮定するとする。このとき得られる有限十進列をπ_Nと書く。
では、次を満たす数列（イカサマの数列）a_1,a_2,…,a_Nが存在するとされる。すなわち、a_kはd_{N-k+1}から定義され、終端整合条件
・(終端条件) Σ_{k=1}^{N} a_k·10^{k-1} ≡ 9223372036854775807 (mod 10^N)
を満たすとき、a_1,…,a_Nは一意に定まる。
さらに、終端がπのもとの桁列にできるだけ近い振る舞いをすると仮定した場合（終端滑らか性仮定）には、a_N（最後の項）が必ずの十進表現から抽出される規則通りの値になることが示される。具体的にはa_Nが「終端器パルス」の一回の取りこぼしに対応し、最後の項が“本来無い終わりを表せる”と解釈される[3]。
証明[編集]
証明はとの組合せで構成される。まず、πの十進桁が理想的には無限に続くとされるが、定理の仮定によりあるNで打ち切る。この操作は「本来は存在しない終端」を与える操作だとされる[4]。
次に、d_1,…,d_Nの情報から、a_kを逆順で組み立てる。ここで「一意性」が鍵になり、終端条件（合同式）が桁ごとに競合するのを防ぐため、と呼ばれる局所補題を適用するとされる。その補題では、10進系の位取りが“最後から決まる”形で固定されるため、Σの形が少しでも変わると矛盾が生じる。
最後に、証明の中核となるのは、次のような“極端に細かい”数値チェックである。具体的には、N=18のときに
10^{18}−1=999,999,999,999,999,999
と一致する位取りの差を計算し、その差が終端条件によりの下位ビット列と一致することが確認される。以後、Nが任意の場合も同型の計数が成り立つとして、帰納が完了するとされた[5]。なお、この部分は実装者の間で「約束された一致（promised match）」と呼ばれ、再現できないと困るほど具体的である。
ただし、いくつかの写本ではNの上限がの検算報告により微妙に異なっており、「いつからが“証明”でいつからが“実験の思い出”なのか」という注釈が残る[6]。その曖昧さが、定理の流行と同時に批判も招いたとされる。
歴史的背景[編集]
は、の高速化のために導入された中間表現の桁落ち事故に端を発するとされる。ある研究所では、πを十進で近似する際に「表現可能な最大の整数」を内部状態として保持していた。この最大値としてが選ばれた経緯が、後の伝承で語られている[7]。
事故の当事者は、（内部局名：計算標準化室）であるとされ、そこでリン・オルテン（Lina Ortens）とカジム・バルガス（Kazim Bargas）が「終端が勝手に生まれるなら、終端を数学に取り込め」と発想したとされる。特にバルガスは、終端があるなら逆に終端条件を規則化できるはずだと主張し、オルテンはその規則化を“合同式の形”に落とし込んだとされる[8]。
当初、主張は単なる工学的観察として雑誌『』に短報が掲載された。その後、（仮称：記号解析分科）で会合が開かれ、観察を定理の文体へ変換する編集が行われた。編集者の一人であった（Marcel Hugrul）は、「定理名は事故番号にしろ」という理由で本定理の題名を採用したと記録されている[9]。なお、この逸話の出典は後年に疑義が出たものの、定理の“語呂の良さ”が評価され定着した。
一般化[編集]
定理の一般化では、まず打ち切り仮定を「10進」でなく「基数b」に変更する。すなわち、ある基数bで小数が有限長Nまでしか現れないと仮定するとき、終端整合条件が
Σ_{k=1}^{N} a_k·b^{k-1} ≡ C (mod b^N)
の形で記述されるとする。ここでCは、基数bに応じて対応する「終端器定数」として与えられるとされる。
次に、終端滑らか性仮定を“桁差の抑制”へ弱める。具体的には、d_{i}とd_{i+1}の差がある範囲に収まると仮定することで、イカサマの数列が安定化する。安定化の指標としてが導入され、終端近傍の周波数成分が閾値以下になる場合に限り、一意性が保たれるとされる[10]。
さらに一部の研究では、π以外のにも同様の終端器が作れると主張されている。ただし、そこでは一意性が崩れる場合があり、「終端を作るほど、終端の嘘が増える」という皮肉が研究ノートに残る。
応用[編集]
としてまず挙げられるのは、教育・検算用途の「桁の監査」である。学生は通常の無限小数では検算できないが、定理により終端が仮想的に導入されるため、途中でどこまで一致しているかを合同式でチェックできるとされる[11]。
次に、計算機科学側では「誤差の物理化」として利用される。数値誤差は通常“消えるか増えるか”だが、終端を許可すると誤差が終端条件へ吸収され、内部状態が整数の剰余で表現されるようになるとされる。これにより、再現性のあるクラッシュログ（終端器ログ）を作れるという主張がある[12]。
また、暗号めいた遊戯として、終端条件を鍵とみなすが提案されたことがある。ただし、この手順は“終端がある”前提を必要とするため、現実の浮動小数点計算でそのまま採用することには慎重さが求められたとされる。一方で、娯楽数学イベントでは「イカサマの数列を当てるクイズ」が定番化し、観客が笑う構造が完成したといわれる。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ リナ・オルテン『終端器と十進の嘘：9223372036854775807の証明』極限計算出版社, 2087.
- ^ カジム・バルガス『擬似小数解析入門—合同式で見る打ち切り現象』Springer-Nakatani, 2088.
- ^ Marcel Hugrul「promised match の編集史」『極限計算通信』第12巻第3号, pp. 41-77, 2086.
- ^ T. K. Belen『Tenary End-Conditions and Their Uniqueness』Journal of Symbolic Endgames, Vol. 19, No. 2, pp. 201-259, 2090.
- ^ 藤堂栄和『離散フーリエ擬似帯域による終端安定性』『日本数値学会誌』第55巻第1号, pp. 12-38, 2089.
- ^ A. L. Renwick「Finite-Decimations of Infinite Constants」『Proceedings of the Poitiers Mathematical League』Vol. 7, pp. 1-24, 2086.
- ^ 佐久間ユウ『桁監査のための数値滑降補題』計算標準化室技術報告書, 第18号, pp. 3-19, 2085.
- ^ R. H. Calder「Why Endings Must Be Permitted: A Discussion」『Bulletin of Pseudo-Decimal Studies』Vol. 3, No. 4, pp. 88-103, 2091.
- ^ O. Matsuda『円周率終端の心理学（第◯巻第◯号）』誤差理論社, 2092.
- ^ S. I. Hasegawa『πの終端はいつ始まるか』学術堂図書, 2084.
外部リンク
- 終端器アーカイブ
- 擬似小数解析データベース
- 合同式チュートリアル集
- 終端合意手順フォーラム
- 極限計算通信 過去号閲覧