有理生成の定理
| name | 有理生成の定理 |
|---|---|
| field | 数学、代数構造論、形式生成理論 |
| statement | 有理生成列が三次の安定条件を満たすとき、その生成閉包は有理拡張に対して可換である |
| proved_by | 渡会慎一郎 |
| year | 1978 |
における有理生成の定理（ゆうりせいせいのていり、英: Theorem of Rational Generation）は、のが満たす安定性について述べた定理である[1]。特に、ある条件の下でが有限段階で自己再帰的に閉じることを保証する定理として知られている[1]。
概要[編集]
有理生成の定理は、との境界領域で発展したとされる定理である。一般には、あるにおいて、有限個の初期元から定義されるが、特定の再帰条件を満たすときに全体の構造が予測可能になることを主張する。
この定理は、の私設研究会との交換講義を往復する形で整備されたという逸話が残る。もっとも、初期の草稿には「分母の偏りが3.7を超えると証明が壊れる」といった記述があり、後年の再構成でかなり洗練されたものになったとされる[2]。
定理の主張[編集]
有理生成の定理は、簡略化すると次のように述べられる。可換環上の生成系が、各段でを保ちながら拡張されるとき、ある整数が存在して、m段目以降の生成元はすべて初期生成元の有理多項式として表される、というものである。
より厳密には、生成列が「局所有理整合性」を満たすならば、そのはの有理拡大に埋め込まれ、しかも埋め込みはと可換である。これにより、見かけ上は複雑に増殖する生成過程が、実際には有限の核に収束することが示されたとされる[3]。
なお、定理の第三補題には「を除くすべての分母は、で割り切れない」と書かれている版があるが、これは後述する53年の改訂で削除された。要出典とされることが多いが、関係者の回想録ではしばしば言及されている。
証明[編集]
原始的な証明は、がの院生控室で考案した「逆順分解法」に基づくとされる。まず生成列をとに分け、余剰段階で現れる分数をで整理する。すると、各段の増殖率が単調減少し、ある臨界点を過ぎると必ず再帰的固定点に入ることが確認される。
証明の要点は、と呼ばれる補助命題にある。これは、任意のに対し、生成元の順序を入れ替えても有理階数が変化しない、ただしにが含まれる場合に限る、という奇妙な条件を含む。研究会の議事録によれば、この条件は当初誤植とみなされたが、実際には証明を閉じるために不可欠であったという。
後年、のは、この証明を的に再定式化し、「生成閉包の自己相似性」として一般化した。彼の版では、の一角にのみが要求され、これが証明の美しさを損なわない範囲で最小条件だとされた[4]。
歴史的背景[編集]
草創期[編集]
有理生成の概念は、ごろの非公式セミナーで、の講演中に偶然現れたとされる。講演者が「この分母はもう少し理性的に振る舞うべきだ」と述べたことがきっかけで、聴衆の一人であったが記号化を始めた。
当初はと呼ばれていたが、にの内部報告書で「生成」という語が採用され、現在の名称へつながった。報告書の末尾には、なぜかの発車時刻表が貼り込まれていたという。
定式化と確立[編集]
、で開かれた小規模シンポジウム「Rationality and Closure」において、渡会の定理は初めて公刊された形で提示された。発表原稿は全27ページであったが、うち6ページが「生成元の茶化し」と呼ばれる余談に割かれており、学会誌の査読ではかなり問題視されたという。
それでも、この定理は後半の抽象代数において珍しく具体的な構成法を与えるものとして注目された。のは、これを「証明より先に現場で使える定理」と評し、以後の研究の流れを決定づけた。
一般化[編集]
一般化としては、、、などが知られている。これらはいずれも、有理生成列にを導入し、分母の暴走を抑える方向に発展したものである。
特にのでは、のが、非可換環の場合でも「生成の平均有理度」が2.1以下であれば定理の類似が成立すると報告した。ただし、この結果は後に「2.1の根拠が曖昧である」として慎重に扱われている[5]。
応用[編集]
有理生成の定理は、純粋数学の定理でありながら、のプロトタイプ設計やの誤差補正モデルに応用されたとされる。とりわけ、生成元の冗長性を抑える考え方は、の研究用端末における圧縮アルゴリズムの設計に影響を与えた。
また、の一部門では、研究プロジェクト名「R-Gen 4」にこの定理の名が使われ、会議資料の冒頭に「分母が増えると予算が減る」という標語が掲げられたという。これは比喩として広まったが、後に実際の予算査定でも頻繁に引用された。なお、の内部報告書には、定理を利用した最適化手法で「会議時間が平均14分短縮された」とあるが、測定方法には疑義がある。
脚注[編集]
[1] 渡会慎一郎『有理生成体の局所構造』数理評論社、1979年、pp. 14-29.
[2] 佐伯千鶴『生成列とその周辺』東京数理出版、1981年、pp. 201-218.
[3] H. T. Waller, “On the Closure of Rational Generators,” Journal of Abstract Systems, Vol. 18, No. 3, 1980, pp. 145-173.
[4] 森下康彦『圏論的有理生成論』京都代数叢書、第4巻第2号、1996年、pp. 51-90.
[5] Claire Montfort, “Average Rationality in Noncommutative Extensions,” Annales de Mathématiques Applicatives, Vol. 62, No. 1, 1995, pp. 7-41.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 渡会慎一郎『有理生成体の局所構造』数理評論社、1979年、pp. 14-29.
- ^ 佐伯千鶴『生成列とその周辺』東京数理出版、1981年、pp. 201-218.
- ^ H. T. Waller, “On the Closure of Rational Generators,” Journal of Abstract Systems, Vol. 18, No. 3, 1980, pp. 145-173.
- ^ 森下康彦『圏論的有理生成論』京都代数叢書、第4巻第2号、1996年、pp. 51-90.
- ^ Claire Montfort, “Average Rationality in Noncommutative Extensions,” Annales de Mathématiques Applicatives, Vol. 62, No. 1, 1995, pp. 7-41.
- ^ 岩井良介『生成の経済学』大阪代数研究会、1982年、pp. 88-104.
- ^ 平田栄一『有理階数の測度論的扱い』数学構造ジャーナル、Vol. 9, No. 4, 1984, pp. 233-260.
- ^ Eleanor P. Finch, “Recursive Denominators and Closure,” Proceedings of the Cambridge Algebra Forum, Vol. 7, No. 2, 1987, pp. 19-58.
- ^ 中村久美子『分母が踊るとき』国際数学随筆、1991年、pp. 3-17.
- ^ 渡会慎一郎・森下康彦『有理生成の定理の改訂史』東京大学数理論文集、第12巻第1号、2002年、pp. 1-46.
外部リンク
- 国立数学基礎研究所アーカイブ
- 有理生成研究会デジタル紀要
- 京都代数セミナー記録集
- Abstract Systems Review
- Rational Closure Database