宇宙際タイヒミュラー理論
| 名称 | 宇宙際タイヒミュラー理論 |
|---|---|
| 分野 | 数論幾何、算術幾何学 |
| 提唱者 | 望月新一 |
| 提唱時期 | 1998年頃 - 2012年 |
| 主要対象 | 異なる数論宇宙間の写像と比較 |
| 関連概念 | abc予想、タイヒミュラー空間、Hodge theater |
| 中心施設 | 京都大学数理解析研究所 |
| 外部評価 | 非常に難解であるとされる |
| 特徴 | 長大な定義列と多層的な同型変換 |
宇宙際タイヒミュラー理論（うちゅうさいたいひみゅらーりろん、英: Inter-universal Teichmüller Theory）は、におけるを扱う理論であり、ごろから周辺で断続的に整備されたとされる[1]。主にが提唱したとされ、の解決を目指す過程で生まれたと説明されることが多い[2]。
概要[編集]
宇宙際タイヒミュラー理論は、互いに独立した複数ののあいだで、座標系や対象の対応を再構成するための理論であるとされる。名称の「タイヒミュラー」はに由来するが、実際にはの港湾倉庫で行われた黒板講義における「Teichmüller を宇宙際に拡張したらどうなるか」という冗談めいた発言から採られたという説が有力である[3]。
この理論は、の研究文化の中で、極端に厳密な定義と極端に長い証明を組み合わせることで発展したとされる。一部の研究者は、理論の本質は「対象そのもの」ではなく「対象を取り巻く編集可能な文脈」にあると述べており、編集会議のたびに黒板の右端だけが異常に更新される現象が知られている[要出典]。
成立の背景[編集]
宇宙際タイヒミュラー理論の起源は、後半のをめぐる交流に求められることが多いが、実際にはの夏、の湿度が異常に高かった時期に、望月が「数論の対象は互いに同じ顔をしていない」とメモしたことが端緒であるという。これが後に、同一の数を別宇宙で比較するための技法へと発展したとされる。
また、当初はやの研究者も断続的に関与していたとされるが、次第に概念の増殖速度が速まり、共同研究者の多くが「定義3.7aの次に定義3.7a'が現れる」と証言するようになった。結果として、理論は通常の論文というより、複数の講義録、補遺、私人のノート、そして食堂のレシートの裏面を経由して形成されたと伝えられる。
理論の構造[編集]
Hodge theater[編集]
理論の中心構造の一つにがある。これは、数論宇宙を舞台装置のように配置し、各宇宙の役者が同じ台詞を異なる意味で発する状況を記述する枠組みであるとされる。名称は演劇的であるが、実際にはの地方劇団の公演ポスターを眺めていた際に着想されたという逸話が残る。
この装置では、同じ整数であっても宇宙ごとに“衣装”が異なり、比較の際にはいったん全員を控室へ戻してから再入場させる必要がある。研究会では、この操作を「宇宙替え」と呼ぶことがあり、黒板上で同じ式が6回消えたあと、まったく別の記号列として再登場するのが通例である。
θリンクとフロベニオイド[編集]
理論のもう一つの中核はであり、これは異なる宇宙間の情報を、直接ではなく極めて遠回りな方法で結びつける技法である。説明のためにしばしばという概念が導入されるが、これは本来の代数構造というより、望月が「フロベニウスの気分を圏論で管理したい」と言ったことに由来する用語であるとされる。
この部分は特に難解で、2010年代後半には「説明が高度すぎて、聞き手が先に対数になる」と評された。なお、初期講義ではθリンクの代わりに赤い糸が使われたことがあり、受講者の一人が誤って糸を引っ張った結果、別の節の証明が崩壊したという話が残っている。
宇宙際比較[編集]
宇宙際比較とは、ある宇宙で成立する性質を、別の宇宙に移してもなお意味がある形に変換する手続きである。これにより、通常であれば比較不能な量が「比較可能であるかのように」再編される。この考え方は、の伝統における局所性の概念を拡張したものとされるが、実際には会議場で同じ定理を三度言い換えたところ、四度目にようやく全員が黙ったことが発端であるともいう。
この比較は、しばしば「元の対象を保ったまま変形する」のではなく、「対象の影だけを別宇宙に送り込む」と説明される。結果として、証明全体が影絵のような構造を持ち、プロジェクターの焦点を合わせるたびに補題番号が1つずつ増える傾向がある。
研究史[編集]
前史[編集]
前史としては、のやの再解釈があり、これらが「数を空間の外へ持ち出す」発想の下地になったとされる。とくにで開かれた小規模研究集会で、ある参加者が誤って「宇宙際」という語を「宇宙の際（きわ）」と読んだことから、境界問題としての性格が強調されるようになった。
また、当時の研究ノートには、理論の名称候補として「多宇宙テイヒミュラー計画」「超局所比較幾何」などが並んでいたが、いずれも「黒板に収まりきらない」という理由で却下されたと伝えられる。
公表と反響[編集]
理論の公表は前後に断続的に行われたとされ、長大な論文群がのウェブサイトに掲載されたことで広く知られるようになった。公開当初は、同分野の研究者の多くが「おそらく何かは起きている」とだけ述べ、具体的な内容には触れなかった。
その後、やでも読書会が開かれたが、1回目の会合で分厚い定義集を読み終えたのは全体の8%に過ぎず、残りは索引の「θ」の項目で力尽きたという。なお、2018年のあるシンポジウムでは、休憩時間のコーヒーが先に冷え切ったため、議論は最後まで温度を取り戻さなかった。
批判と論争[編集]
宇宙際タイヒミュラー理論には、難解さそのものが批判の対象となった経緯がある。特に、定義の相互依存関係が長いため、途中で一つでも記号の向きがずれると、以降の全節が別の論文になると指摘されている。
一方で、擁護側は「理解できないこと」自体がこの理論の自然な状態であると主張し、読者が一度諦めてから再読するまでの時間を理論の一部に含めるべきだと論じた。ある海外誌は、これを「証明ではなく、読む側の精神史である」と評したが、この表現は日本側では過度に詩的すぎるとして見直しが求められた。
また、2010年代後半には、補題の命名規則をめぐって小さな論争が起きた。A-補題、A'補題、A''補題が立て続けに登場したため、査読者の一部が「これは進化ではなく増殖である」とコメントしたのである。
社会的影響[編集]
この理論の社会的影響としてまず挙げられるのは、の研究室周辺で「難しいものを見ると、とりあえず宇宙際と言う」慣習が広まったことである。学部生の間では、難解な定義に遭遇したときの保険として「それは宇宙際的です」と言えば議論を中断できる、という半ば都市伝説的な用法が定着した。
さらに、の食堂では、2014年ごろから「宇宙際ランチ」と称して、皿の上でおかずの位置が毎回変わる日替わり定食が提供されたとされる。これは理論の比較不能性を体験させる教育プログラムの一環と説明されたが、実際には厨房の配置替えの都合であった可能性が高い。
他方で、一般向けメディアはこの理論をしばしば「現代数学の最難関」と紹介し、結果として若い研究者志望者の3人に1人が「とにかく名前が強そう」という理由で数論へ進む現象が起きたという。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 望月新一『宇宙際比較のための準幾何学的枠組』京都大学数理解析研究所紀要, Vol. 41, No. 3, pp. 115-284, 2012.
- ^ Shinichi Mochizuki, “Inter-universal Comparison and the Collapse of Locality,” Journal of Arithmetic Cosmos, Vol. 18, No. 2, pp. 201-366, 2014.
- ^ 佐藤健一郎『Hodge Theater の構成とその演劇的起源』数学文化評論, 第7巻第1号, pp. 33-91, 2011.
- ^ Margaret A. Thornton, “On θ-Links Between Non-communicating Number Universes,” Annals of Speculative Mathematics, Vol. 52, No. 4, pp. 412-509, 2016.
- ^ 望月新一『フロベニオイドとその周辺』講談社数理選書, 2015.
- ^ David L. Emerson, “A Brief History of Inter-universal Teichmüller Theory,” Princeton Mathematical Notes, Vol. 9, No. 1, pp. 1-78, 2018.
- ^ 高橋由紀子『数論宇宙の編集可能性について』数理解析研究所講究録, 第1998巻, pp. 7-64, 2013.
- ^ Jean-Paul Mercier, “The Teichmüller Name in Non-Teichmüllerian Contexts,” Revue de Géométrie Arithmétique, Vol. 11, No. 2, pp. 88-123, 2017.
- ^ 望月新一『宇宙際タイヒミュラー理論入門: ただし入門ではない』東京大学出版会, 2020.
- ^ 鈴木一馬『比較不能性とその教育的利用』数学教育ジャーナル, 第24巻第5号, pp. 401-438, 2021.
外部リンク
- 京都大学数理解析研究所アーカイブ
- 宇宙際数論読書会資料庫
- 日本数論幾何学会特設ページ
- Inter-Universal Notes Repository
- Hodge Theater Online Seminar