VVVFインバータ
| name | VVVFの等距離調和定理 |
|---|---|
| field | 架空電力幾何学 |
| statement | VVVF列が満たす位相和が一定であるなら、観測されるスペクトル距離は全て同一の半径へ収束する |
| proved_by | 渡辺精緻郎（空調数理研究所） |
| year | 1976年 |
におけるVVVFの等距離調和定理（ぶいぶいぶいえふのとうきょりちょうわていり、英: VVVF Equidistant Harmonic Theorem）は、のについて述べた定理である[1]。
概要[編集]
では、電力制御を“幾何の言葉”へ翻訳することが試みられている。VVVFインバータは、連続ではなく“離散の位相多様体”上で定義される列として扱われ、各位相ステップが観測されるスペクトルへ反映されるものとして定式化される。
本項で述べるは、VVVFインバータの挙動を表す位相和が一定であるとき、スペクトルの距離が“全方向で等しい半径”をもつことを主張する定理である[1]。なお、この定理の名前は、実在の装置名に“似ている”ことから付いたとされ、初期の講義ノートでは一貫して「ぶいぶいぶいえふ」と韻が踏まれていたと記録されている[2]。
定理の主張[編集]
VVVFインバータに付随する離散位相多様体を${\mathcal M}$、その位相ステップ列を${\boldsymbol\theta}=(\theta_0,\dots,\theta_{N-1})$とし、観測スペクトルを${\Sigma}(k)$（$k\in\{1,\dots,N\}$）で表すものとする。
次の条件を仮定すると、スペクトル距離が等距離半径へ収束することが示される。すなわち、各$k$に対して位相和
${\Omega} \equiv \sum_{j=0}^{N-1} (\theta_j + j\cdot \alpha)$
が同一値$\Omega_0$を満たすと仮定する。ただし$\alpha$は“調和係数”で、$\alpha=\frac{2\pi}{N\cdot 48}$で定義されるとする（講義ではなぜ48なのかが何度も質問されたらしく、後に「48は数学的に都合がよい約数の気分である」と注釈されたという）[3]。
このとき、スペクトル距離$D_k$を
$D_k\equiv \left|\,|\Sigma(k)|-R\,\right|$
で定義すると、ある半径$R$が存在して、全ての$k$で
$D_k=0$
が成り立つ。さらに、収束の速度は$\exp(-t/\tau)$で与えられ、$\tau=\frac{N^2}{576}$であると示される[4]。
証明[編集]
証明は、からの直交性を導くことで進む。まず${\mathcal M}$上の関数族${\phi_m}$（$m\in\{0,\dots,N-1\}$）を
${\phi_m}(j)=\exp\bigl(i\,(m\,j\,+\,j\,\alpha\bigr)$
と定義する。ここで$\langle\phi_m,\phi_{m'}\rangle$を、離散測度を用いた内積として導入すると、$m\neq m'$のとき直交が成り立つとされる[5]。
次に、VVVF列の位相和が一定であることから、スペクトル${\Sigma}(k)$は${\phi_m}$たちの線形結合として表され、その係数の“偏り”が相殺される。偏りの相殺は、冪級数の係数比較により厳密に示されるが、当時の論文では係数の計算が異様に細かく、$N=12$を例に取って「合計144項が消える」と書かれていたという逸話が残っている[6]。
なお最終段では、$\Omega=\Omega_0$が与える位相の剰余が、$R$の半径へ写像されることを確認する。半径は$R=\left|\Sigma(1)\right|$として与えられ、各$k$のスペクトルが同一半径へ“ぴったり重なる”ことが示された、とされる[7]。ただし、この証明の末尾では「計算は手で追うと疲れるため、誰かの昼食が犠牲になった」といった不穏な注記があり、編集者の一人が出典表記を「昼食台帳（未公開）」にしようとして揉めたとされる[8]。
歴史的背景[編集]
VVVFインバータという語が“数学”へ流入した経緯は、における1980年代前半の講義改革にあるとされる。当時、所長のは「装置の名前をそのまま定義へ持ち込むと学生が笑って聞く」という教育方針を掲げ、わざと実在文献と架空式の境目が曖昧になる資料を配布していたと伝えられている[2]。
最初の草稿はの会議室で書かれ、黒板の端に「$48$はだいたいの神様」と書かれていたという。のちに、同研究所の技術支援部が“観測スペクトル”という語を提案し、数学者側は「スペクトル距離」という量を導入して理論の整合性を補ったとされる[9]。
なお、この定理が1976年に“証明された”とされる年次は、実際の講義日程の散逸した資料から逆算されたもので、の研究室報告に引用が見られる。報告書の引用者としては、当時若手であったの名が挙がるが、当該箇所には「出典不明の図」と注記があるため、正確性には揺れがあるとの指摘がある[10]。
一般化[編集]
は、位相和一定性を“完全”ではなく“準”として緩めた一般化が複数提案されている。たとえば位相和が$|\Omega-\Omega_0|\le \epsilon$を満たす場合には、距離が等距離半径の近傍に収まるとして
$D_k\le C\epsilon$
と評価される。ここで$C$は$N$に依存し、$C=\frac{N}{9}$とするモデルが提示されたとされる[11]。
また、調和係数$\alpha$を$\alpha=\frac{2\pi}{N\cdot 48}$に固定せず、$\alpha=\frac{2\pi}{N\cdot (48+m)}$とする“ずれ版”が議論された。この場合、半径$R$が$k$依存してくるため、等距離性は“完全には”成り立たないが、統計平均としては回復するという[12]。
一方で、位相多様体${\mathcal M}$の取り方を拡張すると、直交性が崩れる可能性がある。崩れの評価は別問題として扱われ、結果として定理の仮定が“数学的に必須”であることが強調された、と述べられている[13]。
応用[編集]
本定理は“電力制御っぽいもの”を“幾何の距離”へ変換する応用として語られることが多い。具体的には、${\Sigma}(k)$を観測器の出力として解釈し、制御周期の設計時に$D_k=0$（等距離半径）を狙うことで、誤差の分散を抑える設計指針が得られるとされる[14]。
架空ながら、の自治体委託プロジェクトでは、冷暖房負荷のピークが位相ステップ数$N$に対して不規則に見える問題があった。その対策として「等距離調和定理の条件を満たす位相和設計を適用すると、ピーク時の分散が約$1.7\times10^{-3}$に落ちる」と報告された資料が存在する[15]。ただし、当該数値は報告書の最終ページにしか書かれていないため、内部の再計算がなされていない可能性もあると指摘されている。
さらに、応用の延長として、$N$を指数で増やした場合の“半径の安定性”が議論され、$N\ge 36$なら実用上の収束が観測されるとされたという。ここで36という下限が採用された背景は、当時の研究会が三十二席では会場が足りないと判断したことに起因する、という笑い話も残っている[16]。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 渡辺精緻郎『架空電力幾何学入門：VVVFの距離収束論』空調数理研究所出版局, 1976.
- ^ 田中皐月『位相ステップ設計と直交性の再解釈』東京工業大学学術報告, Vol. 12, 第3巻第1号, 1977, pp. 41-63.
- ^ M. A. Thornton『Equidistant Harmonics in Discrete Phase Spaces』Journal of Imaginary Applied Topology, Vol. 5, No. 2, 1981, pp. 88-102.
- ^ K. Rosen『On the Radius R Defined by Spectral Echoes』Proceedings of the Semi-Serious Geometry Conference, Vol. 2, 1980, pp. 201-219.
- ^ 山本渚『離散位相多様体の内積と直交の条件』『数理雑誌X』第19巻第4号, 1983, pp. 5-27.
- ^ S. Calder『Lunch Ledger as a Methodological Note』The Bulletin of Unverifiable Proofs, Vol. 7, No. 1, 1984, pp. 13-19.
- ^ E. Nakamura『準位相和仮定に対する誤差評価』日本確率調和論文集, 第8巻第2号, 1986, pp. 77-95.
- ^ L. Hartmann『Shifted Tuning Coefficients and Asymptotic Equidistance』International Journal of Make-Believe Spectral Studies, Vol. 3, Issue 6, 1990, pp. 300-321.
- ^ 空調数理研究所編『吹田会議室メモと48の由来』空調数理研究所資料集, 非売品, 1975.
- ^ 【東京工業大学】研究室報告『観測スペクトルの設計指針（出典不明図版）』第23号, 1978, pp. 1-14.
外部リンク
- 架空電力幾何学ポータル
- VVVF定理アーカイブ
- 離散位相多様体の解答集
- スペクトル距離チュートリアル
- 空調数理研究所・資料室