XYZ予想
| 分野 | 数論、代数幾何学、解析学 |
|---|---|
| 提唱者 | 田島 恒一、Claire Vautrin、E. M. Hargrove ほか |
| 提唱時期 | 1978年ごろ |
| 主題 | 楕円曲線の局所不変量と三つ組分解の整合性 |
| 関連理論 | モジュラー対応、L関数、局所剛性原理 |
| 主要な検証拠点 | 京都大学数理解析研究所、IHÉS、ケンブリッジ大学 |
| 通称 | 三文字予想 |
| 現状 | 未証明、ただし半証明的な報告が多い |
XYZ予想（えっくすわいぜっとよそう、英: XYZ conjecture）は、においてとの対応をめぐって提唱されたとされる仮説である。20世紀後半のとを中心に、奇妙な共同研究の末に形成された概念として知られている[1]。
概要[編集]
XYZ予想は、ある種のがの三重周期に対応しうるという主張であり、初期の定式化では「X因子」「Y反転」「Z接続」の三条件を同時に満たす必要があるとされた。なお、この三条件がどの順序で現れたかについては研究者間で記録が食い違っており、の典型例としてしばしば引かれる。
予想の名前は、もともと研究室内で「仮の記号をそのまま残しただけ」であったが、1979年にのセミナーで黒板の左上に大きく書かれた「X, Y, Z」がそのまま定着したとされる。この略称は後に学術誌『Annals of Imaginary Mathematics』に採録され、以後、世界中の数論学者により「もっとも説明に困る有名な予想」の一つとして扱われるようになった。
歴史[編集]
発端[編集]
XYZ予想の端緒は、夏にで開かれた非公開合宿にあるとされる。そこでが、複素多様体の議論をノートの裏面に書いていたところ、同席していたが「その式は三角測量の誤差補正に見える」と発言し、これが局所条件と大域条件の混同を招いたとされる。
合宿では、参加者のうちが同じ机を使わされ、残りのは廊下に追いやられたという逸話が残る。机の不足を補うため、当時の事務官が図書館の返却台車を3台持ち込み、その車輪の振動が「Z接続」の着想に寄与したという話がある。
定式化の確立[編集]
にはのE. M. Hargroveが、XYZ予想を「三つの観測量が一致するための最小限の公理系」として書き直した。これにより予想は一気に抽象化され、もはや何を示せばよいのか分からない状態になったが、かえって支持者は増えたとされる。
同年、のセミナーで披露された板書には、証明に使う予定だった補題が17個並んでいたが、講義終了時には16個が消され、最後に残ったものが「X補題」と呼ばれるようになった。聴講者の一人は「これは予想ではなく設計図の幽霊だ」と書き残している。
国際的拡散[編集]
に入ると、、、の若手研究者が相次いでXYZ予想の拡張版を発表した。各地で定義の微修正が行われた結果、同じ「XYZ予想」という名の下に少なくともの異なる命題が併存し、国際会議では発表者が自身の版を示すために色付きチョークを持参する慣習が生まれた。
特にのでの会議では、ある講演者が誤ってホテルの請求書を引用し、その中の部屋番号を「補助定理304」と読み替えたことで、後世の文献にまでその番号が残った。これは数論史上、もっとも丁寧に誤解された事例として知られている。
理論的内容[編集]
XYZ予想の核心は、ある楕円曲線に付随するの零点配置が、三つの局所データの積により完全に決定されるという考えにある。ただし、局所データの選び方は研究者ごとに異なり、の流派が確認されている。多くの流儀では、最初に「X因子」、次に「Y反転」、最後に「Z接続」を適用するが、派のみ逆順を主張しており、これがしばしば国際セミナーの議論を長引かせた。
また、予想の周辺では「半安定な対象にはほぼ成立する」「有理点が3つ以上ある場合は挙動が滑らかになる」など、もっともらしいが検証が難しい補助命題が大量に提案された。中でもにのRuth Delaneyが述べた「境界面が二重に折れるときだけ反例が消える」という補題は、後に本人が「板書の勢いで書いた」と述懐したにもかかわらず、引用数が異様に多い。
主要な研究者[編集]
初期の提唱者[編集]
は、日本側の中心人物として扱われることが多い。彼はからにかけて、研究ノートを赤・青・緑の3色で書き分け、色の違いがそのまま理論の段階を示す方式を採用したが、本人は後年「単に万年筆のインクが足りなかった」と語っている。
一方のは、フランス語圏での普及に大きく寄与した。彼女はXYZ予想の説明図を作る際、の地下鉄路線図を参考にしたとされ、これが「局所変換の経路依存性」という比喩を生んだ。
検証派[編集]
は、1980年代の検証派を代表する研究者であり、XYZ予想の部分的証明を13本発表した。ただし、13本のうち5本は同じ定理の言い換えであったため、査読者からは「量的には十分、質的には要再考」と評された。
または、にXYZ予想の計算機実験を行い、当時としては異例のの反復計算を実施した。彼女の報告書には、最終ページに「結果はほぼ一致したが、プリンタが紙を噛んだ」と記されており、この一文だけがやたらと有名である。
社会的影響[編集]
XYZ予想は純粋数学の範囲にとどまらず、後半には研究費配分の指標として半ば俗用されるようになった。特にでは、「XYZ予想に触れている提案は採択率が上がる」という噂が広まり、若手研究者が申請書の冒頭に必ず三つの記号を入れる現象が観察された。
また、のある高校では、大学入試対策の一環として「XYZ予想講座」が開講されたが、実際にはの積分演習が中心であったという。担当教員は「生徒が予想に強くなるには、まず予想外に強くなる必要がある」と述べたとされる。
さらに、には一般向け書籍『XYZ予想と午後の紅茶』がベストセラーとなり、数理論文としては異例のを記録した。もっとも、内容の半分は喫茶店文化の話であったため、学会では「啓蒙に見せかけた雑談」との批判もあった。
批判と論争[編集]
XYZ予想には当初から、定義が時期によって変化しすぎるという批判がある。特にの改訂版では、前版にあった「Z接続」が実質的に別の概念へ置換されており、これをもって「同じ名前の別予想ではないか」とする見解が現在も残る。
また、証明を主張する論文が多数発表された一方で、再現実験の成功率は著しく低く、にで行われた検証では、18件のうち成功したのはわずか2件であった。残りは記号のフォント崩れ、ページ順の逆転、あるいは定義の取り違えによるもので、査読者会議では30分にわたって「どの版を読んだのか」が確認された。
なお、の国際シンポジウムでは、反証を掲げた発表者がスライドを用意していたにもかかわらず、最後の1枚が研究室の観葉植物の写真であったため、討論が妙に和んだという逸話がある。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 田島 恒一『XYZ予想の局所接続とその周辺』日本数理出版, 1981.
- ^ Claire Vautrin, "On the X-Factorization of Elliptic Curves," Journal of Imaginary Algebra, Vol. 14, No. 3, pp. 201-248, 1982.
- ^ E. M. Hargrove, "Threefold Modular Correspondence and the XYZ Conjecture," Annals of Hypothetical Mathematics, Vol. 27, No. 1, pp. 1-39, 1976.
- ^ 山岸 紗英『計算機によるXYZ予想の反復検証』東京大学出版会, 1993.
- ^ Michael R. Ellison, "A Partial Proof of the Z-Connection Lemma," Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. 88, No. 2, pp. 155-179, 1989.
- ^ Ruth Delaney, "Boundary Folding in Modular Data," MIT Press Mathematical Notes, pp. 44-63, 1984.
- ^ G. L. Beaumont, "The XYZ Problem and Afternoon Tea," Cambridge Mathematical Review, Vol. 9, No. 4, pp. 77-102, 1999.
- ^ 渡辺 精一郎『三条件予想の成立史』岩波仮説叢書, 2007.
- ^ Claire Vautrin and K. Oshima, "On the Unexpected Persistence of the Y-Inversion," Kyoto Journal of Pure and Applied Myth, Vol. 3, No. 2, pp. 12-58, 1988.
- ^ N. Patel, "A Slightly Incorrect Proof of the XYZ Conjecture," International Journal of Almost Correct Mathematics, Vol. 6, No. 1, pp. 5-22, 2011.
外部リンク
- 日本XYZ予想学会
- 数論史資料館
- Annals of Imaginary Mathematics
- 京都大学数理解析研究所アーカイブ
- 世界未解決予想データベース