ニョホハヒ条件
| name | ニョホハヒ条件定理 |
|---|---|
| field | 数学、関数解析、離散幾何学 |
| statement | 適切なニョホハヒ条件を満たす自己写像は、少なくとも1つの不動点を持ち、追加条件の下でその不動点は一意である |
| proved_by | 大沢 恒一郎、M. P. Halvorsen |
| year | 1978 |
数学におけるニョホハヒ条件定理（にょほはひじょうけんていり、英: Nyohohahi Condition Theorem）は、上のが特定の「反転安定条件」を満たすとき、そのの配置が一意に定まることを述べた定理である[1]。しばしばの端部に現れる特殊な退化項を制御する定理として知られている[2]。
概要[編集]
ニョホハヒ条件定理は、京都大学数理解析研究所の周辺で半ば口伝的に扱われていた「写像の端数補正」を、に公理化したものとされる。条件名の「ニョホハヒ」は、証明中に用いられた4つの補助不等式の頭音を並べた略称であり、当初は研究室内での符牒にすぎなかったという[1]。
この定理は、上の自己写像 f が、ある正数列 {a_n} と「笑い返し関数」と呼ばれる補助量に対して、写像の反復 f^n(x) が一定の収束殻に入り続けることを保証する。なお、後年の解釈では、この「笑い返し関数」は実際には的な誤差吸収項を意味していたと説明されるが、初期論文ではやや詩的な表現が採られていた[2]。
定理の主張[編集]
可分完備距離空間 (X, d) 上の自己写像 f: X → X に対し、任意の x, y ∈ X について
d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) + β Δ(x, y)
を満たすとする。ただし、0 ≤ α < 1、β > 0 であり、Δ(x, y) はニョホハヒ補正項と呼ばれる対称関数で、
1. Δ(x, y) = 0 となるのは x = y のときに限る、 2. Δ(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) + 1/2 3. 反復列 {f^n(x)} に対して Σ Δ(f^n(x), f^{n+1}(x)) が収束する
ことを仮定すると、f はただ1つの不動点 p を持つ。このとき、任意の初期点 x からの反復列は p に収束し、しかも収束速度は「ニョホハヒ減衰率」λ = 1 - α/2 によって上から評価される[3]。
さらに、補正項 Δ が上で周期 7 を持つ場合、p の近傍には 3 点対称の副不動点候補が現れるが、追加の「ひかえめ条件」を課すとそれらはすべて消滅する。ここが最も有名な部分であるが、実際には証明の最後に半ページだけ付け足された注釈から定理本体に昇格した経緯がある。
証明[編集]
証明は、まず任意の初期点 x_0 を取り、反復列 x_{n+1}=f(x_n) を考えることから始まる。ニョホハヒ条件より、距離 d(x_n, x_{n+1}) は α と Δ により幾何級数的に抑えられるため、{x_n} はとなる。
次に、空間の完備性から極限点 p が存在し、写像の連続性は明示的には仮定されないものの、Δ の収束条件によって実質的に「局所連続」と同等であることが示される。ここでは、当時の講義ノートの余白に「ここでニョホと笑う」と書き込み、のちにこの行が補題 4.2 の証明に転写されたとされる[4]。
一意性は背理法による。p と q がともに不動点であると仮定すると、定理の不等式は d(p, q) ≤ α d(p, q) + βΔ(p, q) を与える。Δ(p, q)=0 であることから d(p, q) ≤ α d(p, q) となり、α<1 より d(p, q)=0 が従う。なお、による英訳稿では、この部分が「obvious yet emotionally necessary」と注記されており、後年まで引用された[5]。
歴史的背景[編集]
ニョホハヒ条件の原型は、前半にで行われた非公式なセミナー「端数写像と温度勾配」にあるとされる。この会合では、収束半径がぴったり 1.732 ではなく 1.7319 になる現象がたびたび報告され、参加者はそれを「ニョホ現象」と呼んでいた[6]。
1976年、京都大学の大沢 恒一郎は、福井県の出張中に宿泊先の旅館で写像の反復表を整理していた際、補正項が偶然 4 つに分解されることを発見したとされる。旅館の帳場に置かれていた鉛筆が硬すぎてノートが破れたため、彼は襖紙の裏に証明の骨格を書いたという逸話が残るが、これは一部の研究者からは「脚色が過ぎる」と指摘されている[7]。
に東京工業大学で開かれた小規模シンポジウム「不動点の気配」において、ハルヴォルセンが英語版を提示し、そこで初めて「Nyohohahi condition」という表記が採用された。なお、命名の際に会場の給湯室で発生した湯気の流れが図式化に使われたため、現在でも教科書によっては補助図がやや蒸気機関風である。
一般化[編集]
その後、ニョホハヒ条件はやへ一般化され、補正項 Δ を多変数化した「多重ニョホハヒ条件」が提案された。これは、各成分が異なる減衰率を持つ写像系に対し、同一の不動点ではなく「共鳴不動点族」を与えるものである[8]。
また、には名古屋大学の高瀬倫太郎らが、離散グラフ上の写像に対してニョホハヒ条件の類似を定義し、頂点数が奇数のときのみ成立する「奇数版ニョホハヒ補題」を示した。もっとも、この結果は後に「グラフの向き付けを取り違えていた可能性がある」として再検討され、現在も一部で要出典とされている[9]。
近年では、確率過程に組み込んだ「確率的ニョホハヒ条件」も研究されているが、こちらは定理というよりの停止保証に近い。特にの論文では、補正項が乱数列の上位3ビットで決まる場合でも、期待収束率が 0.87 を下回らないことが示されたとされる。
応用[編集]
応用先として最も有名なのは、における微小ノイズの自己補正である。ニョホハヒ条件を満たすフィルタは、反復回数が 11 回を超えると出力がほぼ定数化するため、1980年代の一部のでは「静かすぎるエコー除去」として採用された[10]。
さらに、では市場価格の反復調整モデルに適用され、需要曲線が一時的に逆転しても、補正項が閾値 0.031 を超えなければ均衡点に戻るとされる。この理論は後に注目を集め、いくつかの金融工学誌に掲載されたが、実務家からは「現場では補正項がそもそも測れない」として半ば冗談扱いされた[11]。
また、教育的用途としては、の若手セミナーで「収束を信じる練習」として頻繁に利用される。特に証明の第3段階で出てくる「ひかえめ条件」は、院試対策の常套句として広まり、受験生の間では「ニョホハヒを言えたら解析が終わる」とまで言われたという。
脚注[編集]
[1] 大沢 恒一郎『反転安定写像論序説』京都解析出版, 1979年. [2] M. P. Halvorsen, "On Smiling Remainders in Metric Dynamics," Journal of Abstract Convergence, Vol. 12, No. 3, pp. 141-166, 1980. [3] 山岸清文「ニョホハヒ条件下の不動点一意性」『関数解析季報』第7巻第2号, pp. 55-79, 1981年. [4] 大沢 恒一郎・河内真由美『講義ノート 端数補正と収束殻』未刊草稿, 1977年. [5] M. P. Halvorsen, "Obvious Yet Emotionally Necessary Arguments in Fixed Point Theory," Proceedings of the Nordic Mathematical Society, Vol. 4, pp. 22-29, 1979. [6] 佐伯隆志「吹田セミナー記録とニョホ現象」『大阪数学通信』第19号, pp. 3-18, 1976年. [7] 田中霧子『旅館襖紙に書かれた証明』北陸数理叢書, 1982年. [8] L. van Dijk and R. Ito, "Multivariate Nyohohahi Conditions in Hyperbolic Banach Manifolds," Advances in Metric Analysis, Vol. 9, No. 1, pp. 1-34, 1990. [9] 高瀬倫太郎「奇数版ニョホハヒ補題の再検討」『名古屋数理レビュー』第23巻第4号, pp. 201-219, 1991年. [10] 島崎和彦「収束殻フィルタの放送実装」『応用信号学会誌』第31巻第6号, pp. 88-103, 1988年. [11] Eleanor J. Voss, "Equilibrium Restoration under Tiny Correction Terms," International Review of Mathematical Economics, Vol. 6, No. 2, pp. 77-95, 1989年.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 大沢 恒一郎『反転安定写像論序説』京都解析出版, 1979年.
- ^ M. P. Halvorsen, "On Smiling Remainders in Metric Dynamics," Journal of Abstract Convergence, Vol. 12, No. 3, pp. 141-166, 1980.
- ^ 山岸清文「ニョホハヒ条件下の不動点一意性」『関数解析季報』第7巻第2号, pp. 55-79, 1981年.
- ^ M. P. Halvorsen, "Obvious Yet Emotionally Necessary Arguments in Fixed Point Theory," Proceedings of the Nordic Mathematical Society, Vol. 4, pp. 22-29, 1979.
- ^ 佐伯隆志「吹田セミナー記録とニョホ現象」『大阪数学通信』第19号, pp. 3-18, 1976年.
- ^ 田中霧子『旅館襖紙に書かれた証明』北陸数理叢書, 1982年.
- ^ L. van Dijk and R. Ito, "Multivariate Nyohohahi Conditions in Hyperbolic Banach Manifolds," Advances in Metric Analysis, Vol. 9, No. 1, pp. 1-34, 1990.
- ^ 高瀬倫太郎「奇数版ニョホハヒ補題の再検討」『名古屋数理レビュー』第23巻第4号, pp. 201-219, 1991年.
- ^ 島崎和彦「収束殻フィルタの放送実装」『応用信号学会誌』第31巻第6号, pp. 88-103, 1988年.
- ^ Eleanor J. Voss, "Equilibrium Restoration under Tiny Correction Terms," International Review of Mathematical Economics, Vol. 6, No. 2, pp. 77-95, 1989年.
外部リンク
- 京都解析アーカイブ
- 不動点理論デジタル年鑑
- 北陸数理草稿庫
- 日本補正項学会
- Abstract Convergence Review