三日後100倍定理
| name | 三日後100倍定理 |
|---|---|
| field | 離散力学系・計算数学 |
| statement | 適切な初期条件のもとで、三段階の遅延写像は平均増幅率100を与える |
| proved_by | 高槻 恒一郎、M. L. Harrow |
| year | 1978年 |
における三日後100倍定理（みっかごひゃくばいていり、英: Three Days Later Hundredfold Theorem）は、が三日後に倍へ収束するのについて述べた定理である[1]。
概要[編集]
三日後100倍定理は、ので整理されたの一結果であり、入力値がちょうど三回の更新を経たのちに100倍化する現象を抽象化したものである。元来はの誤差増幅を抑える目的で導入されたが、のちに「むしろ増えすぎる条件を正確に言い当てる定理」として知られるようになった[1]。
定理の名前は、初期の講義ノートにおいて「三日後に百倍に見える現象」という俗称が先に定着したことに由来するとされる。なお、この「三日後」はではなく、三回の離散ステップを指す専門用語であると説明されるが、実際には53年の演習問題集で表記が揺れたため定着したという指摘がある[要出典]。
定理の主張[編集]
定理は、写像列 \(f_0, f_1, f_2\) が同一の増幅核 \(K\) を共有し、初期値 \(x_0\) が規格化条件 \(x_0 \in (0,1)\) を満たすとき、三段階後の値 \(x_3\) が
\(x_3 = 100x_0 + \varepsilon\)
の形に表され、しかも誤差項 \(\varepsilon\) が平均0かつ分散 \(1/2401\) を満たすことを述べる。ここで100は偶然の定数ではなく、の平方にを掛けたものとして構成されるため、連鎖的な増幅と整合する。
また、強化版では初期値が有理数である場合、三日目の午前9時から午後3時の間に局所的な「百倍平衡点」が存在することが示される。この平衡点はので観測された試験列により支持されたとされるが、観測値の一部は担当技師のコーヒー摂取量と相関していたと報告されている。
証明[編集]
証明は、高槻 恒一郎によるのノートと、M. L. Harrow による・の再構成を合わせた「二段証明」である。まず、三段階写像を\(A\) の冪として表し、\(A^3\) のスペクトル半径が厳密に100となるよう正規化する。次に、残差項をで平均化すると、三日後の増幅が100倍になることが示された。
ただし、初版の証明では \(A\) の対角化可能性が暗黙に仮定されていたため、の新井千鶴子が「特異値分解で十分である」と修正した。これにより定理は上にも拡張され、のちに「三日後の証明は三日かかったが、訂正には三年かかった」と評された。なお、証明中の補題3.14は、参考文献では補題3.1と書かれており、編集過程での製本所が頁を入れ替えたためとされる[2]。
歴史的背景[編集]
講義ノートから定理名へ[編集]
起源はの夜間講義であり、が「三日後に100倍にならない仕組みは、実は三回の更新で破綻する」と板書したことにあるとされる。当初は冗談半分の表現であったが、受講生の半数が班、残りの半数が班であったため、異なる目的で引用され、いつしか独立の定理名として流通した[1]。
1981年の再発見[編集]
、の学会で M. L. Harrow が類似の増幅現象を報告し、同一現象であることが確認された。両者のノートを照合した結果、Harrow 側では「100」が実験器具の目盛り誤差から偶然生じたことが判明したが、学会委員会は「偶然にしては美しすぎる」として採用したという。
一般化[編集]
一般化として、五日後10000倍定理、あるいは「七回の反復で100の7乗に近づく定理」が知られている。これらは上の縮小写像に対する不動点理論の変種として扱われ、初期値の分布がに従う場合に特に鋭い評価を与える。
また、の藤村和也は、100倍を任意の基数 \(b\) に置き換えると「三日後 \(b\) 倍定理」が成立すると主張したが、\(b=97\) のときのみ実験室の時計が三分遅れたため、完全な一般性は未確定とされている。
応用[編集]
応用は主としてとにある。たとえば、三日後100倍定理は、短期的に過小評価された需要が三回の更新で急拡大する市場の近似式として用いられ、の信用予測モデルに組み込まれた。これにより、ある小売企業では在庫回転率がに平均14.2%改善したとされる。
一方で、では「100倍」が鍵空間の膨張を意味する比喩として利用され、三日後の鍵更新を避ける運用が推奨された。もっとも、実務家の間では「定理より締切のほうが速い」として、実装現場ではあまり歓迎されなかったという。
脚注[編集]
[1] 高槻 恒一郎『三日遅れの増幅写像とその周辺』多変量解析研究会紀要, 第12巻第3号, 1979年, pp. 41-68.
[2] M. L. Harrow, “On Hundredfold Delay Operators in Finite Time”, Journal of Applied Spectral Systems, Vol. 8, No. 2, 1981, pp. 113-149.
[3] 新井千鶴子「三段階遅延写像の特異値分解による補正」『数理構造論集』第5巻第1号, 1982年, pp. 7-29.
[4] T. K. Watanabe, “The Three-Day Amplification Lemma Revisited”, Berkeley Notes in Discrete Dynamics, Vol. 3, No. 4, 1983, pp. 201-219.
[5] 藤村和也「基数可変型百倍定理の試行」『名古屋応用数学報告』第18巻第2号, 1991年, pp. 88-104.
[6] Edward N. Rindle, “Notes on the Hundredfold Equilibrium Point”, Proceedings of the Pacific Conference on Iteration, Vol. 21, 1994, pp. 55-73.
[7] 佐伯みどり『誤差項の平均化とその文化史』東京数理出版, 2007年.
[8] 本多哲也「三日後という時間語の数理的転用について」『計算と言語』第9巻第1号, 2016年, pp. 1-18.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 高槻 恒一郎『三日遅れの増幅写像とその周辺』多変量解析研究会紀要, 第12巻第3号, 1979年, pp. 41-68.
- ^ M. L. Harrow, “On Hundredfold Delay Operators in Finite Time”, Journal of Applied Spectral Systems, Vol. 8, No. 2, 1981, pp. 113-149.
- ^ 新井千鶴子「三段階遅延写像の特異値分解による補正」『数理構造論集』第5巻第1号, 1982年, pp. 7-29.
- ^ T. K. Watanabe, “The Three-Day Amplification Lemma Revisited”, Berkeley Notes in Discrete Dynamics, Vol. 3, No. 4, 1983, pp. 201-219.
- ^ 藤村和也「基数可変型百倍定理の試行」『名古屋応用数学報告』第18巻第2号, 1991年, pp. 88-104.
- ^ Edward N. Rindle, “Notes on the Hundredfold Equilibrium Point”, Proceedings of the Pacific Conference on Iteration, Vol. 21, 1994, pp. 55-73.
- ^ 佐伯みどり『誤差項の平均化とその文化史』東京数理出版, 2007年.
- ^ 本多哲也「三日後という時間語の数理的転用について」『計算と言語』第9巻第1号, 2016年, pp. 1-18.
- ^ L. P. Mercer, “A Curious Normalization of the 100 Factor”, Annals of Fictional Mathematics, Vol. 14, No. 1, 1989, pp. 9-26.
- ^ 北沢春彦「百倍平衡点の工学的意味」『湘南数理センター報』第2巻第4号, 2001年, pp. 77-93.
外部リンク
- 多変量解析研究会アーカイブ
- 湘南数理センター年報
- 架空数学史データベース
- 離散力学系オンライン年鑑
- 東京工業大学講義ノート目録