東條首相の算術
| name | 東條首相の算術 |
|---|---|
| field | 数学、代数的組合せ論 |
| statement | 有限加群の符号付き和が閾値を超えると、補正項が一意に定まる |
| proved_by | 白井恒三郎、松浦初枝 |
| year | 1943年 |
における東條首相の算術（とうじょうしゅしょうのさんじゅつ、英: Tojo Prime Minister's Arithmetic）は、のが特定のを超えるとき、が一意に定まることを述べた定理である[1]。戦時期ので提唱されたとされ、のちにとを接続する奇妙な定理として知られる[1]。
概要[編集]
東條首相の算術とは、M に対し、任意の分割 X = A ∪ B が与えられたとき、符号関数 σ(A,B) による総和 S(X) があるτ を超えるならば、補正写像 κ がただ一つ存在する、という主張を指す定理である。ここでの「首相」とは行政的な意味ではなく、元来はと呼ばれる数列の先頭項を暗示した隠語であるとされる[2]。
この定理は、戦時下の理学部で研究されていた配給計算の抽象化から生まれたという説が有力である。もっとも、初期草稿には「米麦の等配問題」と記されていたにもかかわらず、後年の口伝では「国家の数字を整える技法」として脚色され、半ば伝説化した経緯がある。なお、とされる逸話として、初版の講義ノートには東條英機の名が一度も現れないのに、学生たちが勝手にこの名を付けたという話がある[3]。
定理の主張[編集]
定理は通常、次の形で述べられる。有限加群 M と、その上の符号付き関数 ω: M→{−1,0,+1} を考える。部分集合 A,B⊂M が A∩B=∅ を満たすとき、和 Σ(X)=∑_{x∈X}ω(x) を定義する。いま Σ(A)+Σ(B) が τ(M) を超えるならば、補正項 κ(A,B) は
κ(A,B)=\frac{1}{2}(Σ(A)−Σ(B))+c(M)
に一致し、しかも c(M) は M の階数にのみ依存する、というものである。これにより、局所的な誤差が全体の均衡に吸収されることが示された。白井の原論文では、この性質を「符号の帝国的整列」と呼んでいるが、後の標準訳では単に「一意補正性」とされた[4]。
また、この定理には境界条件として「三割七分則」が付随する。すなわち、Σ(A):Σ(B) の比が 3:7 に近い場合、補正項は不安定になるため、特別な正規化が必要とされる。この条件がどこから来たかは不明であり、研究史上もっとも不可解な数的慣習の一つとされている。
証明[編集]
証明はによる補題から始まる。彼女は、の小集会で、加群 M を五層の格子に分け、各層の符号和が交互に打ち消し合うことを示した。これにより、全体の不定性が上層の境界に集約されることが分かり、補正項の候補が有限個に絞られた。
次には、境界層に対して「首相補題」と呼ばれる不等式を導入した。これは Σ(A)+Σ(B) > τ(M) のとき、任意の逸脱量 δ が δ<1/4 で抑えられる、というものである。ここで白井は、しばしば使われる式の評価法ではなく、の港湾計算で使われていた偶奇補間を流用している。後年の研究によれば、この部分は本来の証明というより、配給簿の誤差訂正表をそのまま抽象化したものに近い[5]。
最終段階では、補正写像 κ の単射性と全射性が別々に証明される。単射性は三角不等式により、全射性は「一つ上の層に持ち上げる」操作により得られる。この二つを組み合わせると κ が一意に定まり、定理が証明された。なお、草稿の余白には「算術とは、結局のところ人の腹を満たす技術である」と書かれており、数学史家の間でしばしば引用されるが、真偽は定かでない[6]。
歴史的背景[編集]
東條首相の算術の起源は、頃の地区にあった臨時研究室に求められる。ここでは理学部の若手研究者が、紙と煤けた黒板だけを用いて、物資配分の誤差を抑える方法を議論していた。中心人物とされる白井は、もともとよりもに関心を持っており、数列の乱れを「整列させる」言い回しを好んだという。
一方で、定理名が定着した経緯はかなり奇妙である。戦後の、に掲載された回想録で、ある匿名編集者が「東條首相の算術は、数の上に威圧的な整合を与える」と書いたことが発端とされる。これが学界外でも面白がられ、やがて学生間では「東條の算術を通ると答案が半分だけ正しくなる」といった冗談まで流布した[7]。
なお、にはの古参講師・野村栄助が、この定理をの文脈に再定式化し、戦時由来の語感を薄めようとした。しかし逆に、講義録の題名が「首相型補題集」となったため、名称はかえって定着したとされる。
一般化[編集]
のちにこの定理は、加群以外の対象にも拡張された。とくにに対する一般化では、符号関数 ω を「沈黙度」へ置き換え、閾値 τ を局所密度に依存させることで、より広いクラスの対象に適用できることが示された。これにより、単なる整数論の小技ではなく、的な「誤差の一意分解」として再解釈されるようになった[8]。
また、にの A. R. Pembroke が提案した「複素首相算術」では、補正項 κ が実数ではなく位相回転を持つ複素数として現れる。この一般化は美しい一方で、計算結果がしばしば研究者ごとに異なったため、学会では「証明より先に党派が増えた」と評された。さらに、の研究グループはこれを雪結晶の対称性解析に応用し、毎冬だけ論文数が増える現象で知られた。
もっとも、最も広く受け入れられた一般化は「可換環上の東條補正」である。ここでは一意性が失われる代わりに、補正項の集合に順序構造が入る。この性質は、後にの試作系に流用されたが、鍵長の代わりに「顔色の濃さ」をパラメータにしたため、実用化は見送られた。
応用[編集]
応用の最初の成功例は、のによる穀物配分表の検算である。担当官たちは、この定理を用いると帳簿上のズレが「補正項」として自動的に抽出されることを発見し、月末処理の時間を平均で17分短縮したと報告している。もっとも、同報告書には「なぜか検算係の腹時計が一致した」との記述があり、数学的成果か心理的効果かは判然としない[9]。
学術的には、における資源再配分モデルへの応用が有名である。とくに代後半、の研究者たちは、競合する複数の提携に対し、東條補正を入れると均衡点が一つに定まる場合があることを示した。これにより、交渉の途中で「誰がどれだけ譲ったか」を事後的に再構成できるようになり、会議資料の作成が妙に厳密になった。
さらに、にはの応用数学講座が、製造ラインの欠品率推定にこの定理を導入した。欠品が一定閾値を越えると、補正項が製品ロットごとに同じ形で現れるため、不良原因の切り分けが容易になったという。ただし、現場では「東條式を入れると帳票が整いすぎて逆に不安になる」との声もあり、普及は限定的であった。
脚注[編集]
[1] 白井恒三郎『有限加群における符号補正の研究』東京帝国大学理学部紀要, 1943年.
[2] 松浦初枝「首相型列と閾値の一意性」『帝国数学会雑報』Vol. 12, No. 4, pp. 41-58.
[3] 小寺和彦『戦時下講義録の周辺』日本数学史研究会, 1969年.
[4] H. Shirai, "On the Unique Correction of Signed Sums," Journal of Abstract Arithmetic, Vol. 7, No. 2, pp. 113-129.
[5] 野村栄助「港湾補間法の代数化」『京都数理叢書』第3巻第1号, pp. 9-27.
[6] 白井恒三郎 草稿ノート第14葉、東京大学駒場図書室所蔵.
[7] "The Prime Minister Arithmetic and Its Afterlives," The Nippon Mathematical Review, Vol. 21, No. 1, pp. 2-19.
[8] A. R. Pembroke, "Complex Prime-Minister Arithmetic," Proceedings of the Oxford Symposium on Fictional Algebra, Vol. 5, pp. 201-233.
[9] 農林省計算室『穀物配分表検算報告書 昭和二十八年度版』内部資料, 1953年.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 白井恒三郎『有限加群における符号補正の研究』東京帝国大学理学部紀要, 1943年.
- ^ 松浦初枝「首相型列と閾値の一意性」『帝国数学会雑報』Vol. 12, No. 4, pp. 41-58.
- ^ 小寺和彦『戦時下講義録の周辺』日本数学史研究会, 1969年.
- ^ H. Shirai, "On the Unique Correction of Signed Sums," Journal of Abstract Arithmetic, Vol. 7, No. 2, pp. 113-129.
- ^ 野村栄助「港湾補間法の代数化」『京都数理叢書』第3巻第1号, pp. 9-27.
- ^ A. R. Pembroke, "Complex Prime-Minister Arithmetic," Proceedings of the Oxford Symposium on Fictional Algebra, Vol. 5, pp. 201-233.
- ^ 農林省計算室『穀物配分表検算報告書 昭和二十八年度版』内部資料, 1953年.
- ^ The Nippon Mathematical Review 編集部「東條首相の算術と戦後の再定式化」The Nippon Mathematical Review, Vol. 21, No. 1, pp. 2-19.
- ^ 渡辺精一郎『兵站と数式』中央数理出版社, 1978年.
- ^ M. K. Ellison, "Threshold Corrections in Finite Modules," Cambridge Monographs in Imaginary Mathematics, Vol. 2, pp. 77-104.
外部リンク
- 日本架空数学史アーカイブ
- 東京大学数理伝承室
- 帝国数学会デジタル雑誌庫
- 代数的組合せ論資料館
- 架空定理索引プロジェクト