小手川ゴリラ説
| name | 小手川ゴリラ説 |
|---|---|
| field | 離散数学・グラフ理論 |
| statement | 局所収縮条件を満たす自己準同型の反復は、ゴリラ型安定値へ収束する。 |
| proved_by | 小手川 進一郎、マーガレット・L・ソーン、久我山拓也 |
| year | 1978年 |
における小手川ゴリラ説（こてがわごりらせつ、英: Kotegawa Gorilla Theorem）は、上のが特定のを満たすとき、その反復列に現れる「重みの偏り」が必ずへ収束することについて述べた定理である[1]。
概要[編集]
小手川ゴリラ説は、の私設研究会から広まったとされる、上の定理である。特にに対するの反復において、局所的な「重みの逃げ」を抑えた場合に、全体の偏りが一定の値へ落ち着くことを主張する。
この定理は、元来は初頭の学会誌で「小手川式の暴れ値安定化」として紹介されたが、後年になって「ゴリラ説」の俗称が定着した。名称の由来については、発見者の小手川進一郎がの観察メモにグラフの遷移図を描き込んでいたため、あるいは会場の展示室の空調が不規則であったため、など複数の説がある[2]。
定理の主張[編集]
有向グラフを、各頂点に非負実数重みが付与された有限集合とする。自己準同型が、任意の頂点について「半径2以内の局所平均重み」を保つとき、反復列は、ある定数に対してを満たす段階に到達する。
さらに、局所収縮率が未満である場合、は一意であり、しかもの連結成分ごとに「背中の厚み」と呼ばれる補正項を伴うことが示される。なお、このが実際に測定可能であるかについては、後述の節で触れる通り議論がある[3]。
証明[編集]
証明はの原論文では18頁にわたるが、骨子は比較的単純である。まず、の各連結成分をによって細分し、各部分に対して「荷重が跳ね返る回数」の上界を与える。次に、と呼ばれる不等式を用いて、反復ごとの重みの逸脱量が幾何級数的に減衰することを示す。
決定的なのは、が導入した「側面視点交換法」である。これは、頂点を上から眺める代わりに、あえて斜めから観測し、局所平均の崩れを等価なへ落とし込む手法である。この技法により、当初は証明不能と思われていた「背中の厚み補正」が、実はで吸収できることが判明した。
ただし、最終段階のによる補足はやや異様で、証明の最後に「なお、ゴリラは重心が低い」とだけ書かれている。後世の編集者はこれを冗談と解釈したが、の改訂版ではこの一文が削除され、代わりに「重心が低い場合でも同様である」と置換されたため、かえって真剣さが増したとされる[4]。
歴史的背景[編集]
発見の経緯[編集]
小手川ゴリラ説の起源は、に神田の貸会議室で行われた「不安定写像研究会」にさかのぼるとされる。小手川進一郎は当初、の混雑モデルを研究していたが、会議中に配布された菓子折りの包み紙へ遷移図を書き始め、それが後の定理の原型になった。
同席していたの院生が、その図が「肩をすぼめた類人猿」に見えると発言したことから、会の記録係が便宜的に「ゴリラ型」と記したという。もっとも、この逸話はとされることが多く、実際には小手川本人が内の動物園で同様の図形を見て命名したという説もある。
公表と反響[編集]
初出はの『』第12巻第3号である。掲載当初は、題名があまりに奇妙であったため、査読者の一人が「印刷事故ではないか」と疑ったと伝えられている。ところが、実際に読んでみると補題の整合性が高く、の数理解析グループが翌年には追試を完了した。
一方で、にで開催された国際会議では、口頭発表の冒頭でスライドにゴリラの横顔が映り込み、聴衆の半数が笑い、残り半数がメモを取ったという。これにより本定理は、学術的厳密さと視覚的な奇妙さを兼ね備えた稀有な成果として知られるようになった。
一般化[編集]
後にとして、およびへの拡張が示された。ここでは局所収縮条件の代わりに「毛づくろい条件」と呼ばれる確率的制約を課すと、平均偏差がへ落ちることが証明された。
また、ので提案されたは、小手川ゴリラ説の項を二層に分け、より高次のグラフに適用可能にしたものである。ただし、この一般化では定理の見た目が急に複雑になり、原著の魅力であった「ゴリラらしいわかりやすさ」が薄れたとの批判もある。
にはらが、定理をに持ち込むことで、自己準同型の代わりに「自己に似た関手」を扱う版を示した。これにより、もはや何がゴリラなのか説明が難しくなったが、専門家の間では「説明不能なほど一般であることが本定理の本質である」と整理されている。
応用[編集]
応用例として最も知られるのは、の再編成である。の内部検討資料では、駅ごとの乗客流入を頂点重みとみなし、小手川ゴリラ説を用いて遅延伝播の収束を予測したとされる。これにより、の環状区間で平均の改善が見込まれたが、実装時に駅員が「ゴリラ型安定値」の意味を取り違え、発車ベルの音量だけが大きくなったという。
また、では、病棟内の移動経路をグラフ化し、患者の滞在偏りを安定化させるモデルとして利用された。特にのある総合病院では、夜間の看護動線に適用した結果、ナースステーション前の滞留が減少したと報告された。ただし、この効果は院内の自動販売機を移設しただけではないかとの指摘もある[5]。
さらに、の系研究班は、工場内のコンベヤーベルト配置最適化に本定理を応用し、部品の「背中の厚み」を測るための独自センサーを試作した。センサーは見た目がほぼ体重計であったため、現場では「ゴリラ計」と呼ばれたが、正式名称に採用されることはなかった。
脚注[編集]
[1] 小手川進一郎『局所収縮下における偏差反復の収束』日本離散構造学会誌、Vol. 12, No. 3, 1978年、pp. 41-59. [2] 佐伯和彦「小手川定理と動物園メモの関係」『数理文化研究』第4巻第1号、1982年、pp. 11-23. [3] Margaret L. Thorne, “On the Gorilla-Type Stability Constant,” Journal of Abstract Graphs, Vol. 7, Issue 2, 1981, pp. 88-104. [4] 久我山拓也『改訂小手川補題集』東京解析出版、1986年、pp. 5-17. [5] 近藤雅美「病棟動線への小手川型収束モデルの適用」『医療数理ジャーナル』第9巻第2号、1994年、pp. 201-219.
関連項目[編集]
脚注
- ^ 小手川進一郎『局所収縮下における偏差反復の収束』日本離散構造学会誌, Vol. 12, No. 3, 1978, pp. 41-59.
- ^ Margaret L. Thorne, “On the Gorilla-Type Stability Constant,” Journal of Abstract Graphs, Vol. 7, Issue 2, 1981, pp. 88-104.
- ^ 佐伯和彦『小手川定理の初期受容史』東京数学叢書, 1983, pp. 3-28.
- ^ 久我山拓也『改訂小手川補題集』東京解析出版, 1986, pp. 5-17.
- ^ Jean-Pierre Lemoine, “A Note on Shoulder-Band Decomposition,” Annales de Combinatoire Appliquée, Vol. 15, No. 1, 1989, pp. 112-129.
- ^ 近藤雅美「病棟動線への小手川型収束モデルの適用」『医療数理ジャーナル』第9巻第2号, 1994, pp. 201-219.
- ^ 鈴木孝・Ortega, M. “Functorial Extensions of the Kotegawa Theorem,” Proceedings of the International Congress of Discrete Structures, Vol. 22, 2003, pp. 55-73.
- ^ 高橋玲子『ゴリラ説とその周辺』新潮数理選書, 2007, pp. 91-118.
- ^ Andrew P. Vance, “The 47-Degree Observation Method in Stability Proofs,” Transactions of the Pacific Mathematical Society, Vol. 31, No. 4, 2011, pp. 390-409.
- ^ 中村真由美『背中の厚みと収束値』岩波講座 数学の周縁, 2016, pp. 14-39.
外部リンク
- 日本離散構造学会アーカイブ
- 小手川理論研究会
- 数理文化研究所データベース
- 国際ゴリラ型安定値協会
- 東洋解析フォーラム