数学的誤謬法
| 英語名称 | Mathematical Fallacyology |
|---|---|
| 対象領域 | 数式化された誤推論、偽証明、計算錯誤の制度化 |
| 上位学問 | 推論科学 |
| 主な下位分野 | 初等誤謬法、証明逆転学、統計的虚数論、応用詭弁設計 |
| 創始者 | アウグスト・L・ファーレン（Auguste L. Fahlen） |
| 成立時期 | 1897年頃 |
| 関連学問 | 形式論理学、計算史、認知錯誤学、偽証明工学 |
数学的誤謬法（すうがくてきごびゅうほう、英: Mathematical Fallacyology）とは、の形式を用いて誤った結論を体系的に生成する技法およびその逸脱を研究する学問であり、の一分野である[1]。
語源[編集]
「数学的誤謬法」という名称は、ので用いられたの直訳に由来するとされる。もっとも、当時の文献では同語は「誤りを犯す方法」ではなく、「誤りが必然化する方法」という、やや攻撃的な意味で使われていた[2]。
日本語では33年ごろにの講義録へ入り、のちに「誤謬」をあえて用いることで、単なる計算ミスと区別する学術語として定着したとされる。なお、初期の邦訳では「数学的謬法」「数理的誤道」などの表記揺れがあり、の古い会報には「いずれも採用に耐えない」とする注記が残っている[3]。
定義[編集]
広義には、を用いて、もっともらしいが成立しない結論へ至る推論操作の総体を指す。狭義には、証明の体裁を保ちながら前提の抜け落ち、単位の混線、無限の濫用、あるいは除算の黙認によって論証を崩壊させる手法をいう[4]。
の1978年版定義では、「数学的誤謬法は、誤りであることが発見された後も、なお再現性と教育効果を保つ誤推論の組織体」と定義された。この定義は学界で広く引用されたが、同時に「誤りに再現性を期待するのは倫理的にどうか」との批判も招いた。
歴史[編集]
古代[編集]
起源はの粘土板に記された「二つの直角を重ねれば第三の角は不要である」といった、極端に簡略化された測量術に求められることがある。これは後世の研究者によれば、実用的な誤謬法というより、祭司階層が算術の理解を独占するために用いた儀礼的な省略であったとされる[5]。
では派の写本に、円周率を「三と少し」とする注釈が複数見つかっており、これを誤謬法の原型とみなす説がある。ただし、当該写本の一部には羊皮紙の継ぎ目で式が断裂している箇所があり、現代の紙面復元班は「おそらくは単なる保存失敗である」としている。
近代[編集]
「誤差を四捨五入し続ければ利益も四捨五入される」という、今なお引用される奇妙な標語を生んだ。
現代[編集]
後、数学的誤謬法は一時的に信用を失ったが、の計算機普及に伴い再評価された。とりわけ初期の系端末で入力ミスが大量発生したことから、「人間の誤謬を自動化する学問」として需要が急増したのである[7]。
にはで開かれた「国際誤謬法シンポジウム」において、が、アルゴリズムによる誤謬は人間の誤謬より検出しやすいと報告した。これに対し、参加者の一部は「検出しやすい誤りはもはや誤謬法ではない」と主張し、会場の廊下で三時間にわたる定義論争が起きたと記録されている。
分野[編集]
数学的誤謬法は、基礎数学的誤謬法と応用数学的誤謬法に大別される。前者は誤りの構造そのものを扱い、後者は誤りをいかに実用へ転化するかを扱う。
基礎数学的誤謬法では、、、などが主題となる。一方、応用数学的誤謬法では、選挙速報の推定、在庫管理の見積り、そしてごく稀にの耐圧試験まで対象に含まれる。
方法論[編集]
標準的な方法論は、まず真っ当な証明の外形を作り、その途中に小さな不整合を一つだけ滑り込ませることから始まる。この不整合は、分母の消失、次元の混線、集合の自己包含、あるいは「ここで明らかに」と書かれる無証明の断定として現れる[8]。
の手引きでは、優れた誤謬法は「最初の9割は正しいので、残りの1割で全体を台無しにする」とされる。また、熟達者ほど誤りを大声で主張しない傾向があるため、教育現場では沈黙を伴う誤謬が最も危険であるとされている。
学際[編集]
この分野は、、、、と密接に関連する。特に統計学では、サンプル数が少ないほど結論が鋭く見えるという逆説が誤謬法の教材として重視されてきた。
また、では「人は正しい式よりも整った式を信じやすい」という現象が報告されており、数学的誤謬法の社会的受容を説明する鍵とされる。なお、の草案に誤謬法の用語が一時的に流入したことがあり、耐震計算の注釈欄に「概算により安全」とだけ記された例が残るが、これについては関係者の証言が食い違っている[9]。
批判と論争[編集]
批判の中心は、誤謬法が「間違いを学ぶ」というより「間違いを洗練させる」学問に見える点にある。とりわけの以後、教育現場での使用は一部制限され、は「生徒が答えの整合性より筆跡の美しさを優先する」と警告した。
一方で支持者は、誤謬法の訓練により、正しい証明を見抜く力が向上すると主張する。実際、にで行われた実験では、誤謬法の講義を受けた生徒の85.4%が「どこか怪しい」を即座に指摘できるようになったとされるが、対象問題がすべて分母にを含んでいたため、結果の一般化には慎重であるべきだと付記されている[10]。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ A. L. Fahlen『Zur mathematischen Irrtumsmethode』Berliner Institut für Wissenschaftsverlag, 1901.
- ^ Clemens Hartwig『Die Buchhaltung des Irrtums』Wiener Akademische Drucke, 1910.
- ^ 村上精二『数理誤謬論序説』東京啓文社, 1928.
- ^ Sophia Legendre, "On Reversible Errors in Computation," Journal of Fallacy Studies, Vol. 12, No. 3, pp. 201-238, 1999.
- ^ 佐伯和義『証明の崩し方とその保存』誤推論研究会出版部, 1957.
- ^ H. M. Bracken, "The Social Life of Incorrect Formulas," Proceedings of the Royal Society of Speculative Reasoning, Vol. 8, No. 1, pp. 44-79, 1974.
- ^ 田所みどり『誤謬法の教育的効用』教育数理評論社, 第4巻第2号, pp. 15-33, 1986.
- ^ Margaret A. Thornton, "Zero-Division Tolerance in Early Computer Rooms," Computing and Error Quarterly, Vol. 5, No. 4, pp. 88-109, 1966.
- ^ 『The Handbook of Mathematical Fallacyology』Northbridge University Press, 2008.
- ^ 小田切一郎『分母はなぜ消えるのか』日本推理数学会誌, 第17巻第1号, pp. 1-19, 2014.
- ^ Émile Vauclair『La Beauté de l’erreur calculée』Presses de l’Improbable, 1972.
外部リンク
- 国際誤謬法アーカイブ
- ベルリン誤推論史研究所
- 京都数学的誤謬法資料館
- 推論科学オンライン年鑑
- 偽証明工学会