三重存在の誤謬
| name | 三重存在の誤謬 |
|---|---|
| field | 数学、特に存在論的代数幾何 |
| statement | 三重存在係数が1を超えると、存在証明の独立性が崩壊する |
| proved_by | 渡会正次・M. L. Harrow |
| year | 1987年 |
における三重存在の誤謬（さんじゅうそんざいのごびゅう、英: Triple Existence Fallacy Theorem）は、上のが満たすについて述べた定理である[1]。とくに、三つの互いに独立なを仮定したとき、ある種のが必ず退化することを示した定理として知られている[1]。
概要[編集]
三重存在の誤謬は、上のに対し、三つの証明可能な存在主張を同時に課すと、論理的な重複が不可避となることを主張する定理である。実際には、三つ目の存在はしばしば二つ目の余剰として現れ、これが「誤謬」と呼ばれる由来とされる[1]。
この定理は、の民間研究会であるの内部報告書を起点として発展したとされるが、初期の記録は1980年代後半の複写資料に偏っているため、成立過程には不明点が多い。一方で、後年の系の研究者による再定式化によって、抽象代数学と形式意味論の双方にまたがる定理として扱われるようになった[2]。
定理の主張[編集]
三重存在の誤謬は、次のように定式化される。有限生成E において、存在証人列 (a, b, c) があり、各要素が独立に存在条件 P, Q, R を満たすと仮定する。このとき、三つの条件が同一の上で互いに整合的であるならば、少なくとも一つの条件は他の二つの合成像として表現される。
これにより、真に独立な三重存在は、E のが 2 以下のときには構成できないことが示される。なお、原論文ではこの結論を「存在は三度目にして自己参照へ落ちる」と要約しており、以後の解説書でもこの表現がしばしば引用される[3]。
証明[編集]
準備[編集]
証明ではまず、存在環 E をし、三つの存在証人を同時に追跡できるT を構成する。ここで重要なのは、各証人が互いの補集合に作用しないように、を適用する点である。渡会はこの段階で、守口市の貸会議室において、ホワイトボード3枚を用いながら補題の境界条件を整理したとされる[2]。
退化補題[編集]
次に、三つの存在証人が同時に可換であると仮定すると、追跡圏T 上の3本の射が同一のに落ちることが示される。これを退化補題という。証明の核心は、第三の証人が第一・第二の積である場合に限り、式変形の途中で符号が1回だけ反転することであり、この小さな反転が全体の論理を「誤謬」として露呈させる[3]。
結論[編集]
以上より、E における三重存在係数は 2 を超えないことが従う。さらに、係数が 3 に達するように見える例は、いずれも観測装置の側でを二重計数していたことが後に判明した。1989年の再計算では、誤差の大きい手計算表が 17 枚見つかり、そのうち 6 枚にはコーヒー染みがあり、これが式の第4項を隠していたとする記述が残る[4]。
歴史的背景[編集]
前史[編集]
この定理の源流は、末期の分科会で議論された「三つあるように見えて二つしかない現象」に求められるとされる。当初はの哲学的比喩にすぎないと考えられていたが、の若手研究者であった渡会正次が、これを環論の命題へ翻訳したことで状況が変わった[5]。
定理名の成立[編集]
「三重存在の誤謬」という名称は、1986年にの研究集会で行われた討論中、M. L. Harrow が「a triple existence fallacy」と発言したことに由来するとされる。ただし、当日の議事録では「triple insistence」と誤記されており、後年の編集で「existence」に修正された。なお、この誤記修正がかえって定理名の神秘性を高めたとの指摘がある[6]。
一般化[編集]
後続研究では、三重存在の誤謬は n 重存在へ一般化され、n ≥ 4 の場合にはにおいて類似の退化が起こることが示された。ただし、n = 5 では例外的に「反誤謬領域」が現れ、証人の一部が自発的に消滅する現象が観測される。これは純粋数学の枠を超え、の形式意味論研究グループによって「意味の過剰証明」として再解釈された[7]。
また、側では、三重存在の誤謬をの次数切断としてみなす立場がある。こちらでは誤謬次数 2 が境界条件に相当し、3 は観測不能な余剰次元として扱われる。もっとも、この解釈は原典の意図からはやや離れており、原著者自身は「便利ではあるが、少し気持ちが悪い」と述べたと伝えられる[8]。
応用[編集]
応用面では、三重存在の誤謬はにおける重複証明検出、における証言整合性の評価、ならびににおける三値測定の圧縮に利用されている。とくにの内部文書管理では、同一案件に三つの「存在確認」が揃った場合に自動で二件へ畳み込むアルゴリズムが導入され、年間約2,400件の手戻り削減につながったとされる[9]。
一方で、教育現場ではこの定理が半ば寓話として扱われ、の初等代数学講義では、三重存在の誤謬を説明するために「3人の目撃者、2枚の領収書、1つの空席」という比喩が用いられる。学生の理解は進んだが、同時に「証明より先に出席確認が必要である」との感想が急増したという[10]。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 渡会正次『三重存在の誤謬と可換退化』東京数理出版、1988年.
- ^ Harrow, M. L. “Triple Existence and the Second Witness Problem.” Journal of Existential Algebra, Vol. 14, No. 2, 1989, pp. 33-71.
- ^ 佐伯澄子『存在環の局所化と誤謬次数』岩波書店、1991年.
- ^ Klein, Robert E. “On the Collapse of Triple Witness Structures.” Cambridge Mathematical Reports, Vol. 22, No. 4, 1990, pp. 201-240.
- ^ 東京存在代数研究所 編『内部報告 第17号 三重証人の重複計数について』1990年.
- ^ 田宮一郎『形式意味論における三重存在の再解釈』京都学術叢書、1994年.
- ^ Brenner, Elise M. “The Existential Sheaf Lemma and Its Failures.” Annals of Abstract Structure, Vol. 8, No. 1, 1992, pp. 1-29.
- ^ 松浦健二『証明の重なりと観測誤差』数学評論社、1993年.
- ^ Sato, Naomi & Watanabe, P. “Applications of Triple Fallacy Reduction in Document Control.” Proceedings of the Tokyo Symposium on Applied Logic, 1995, pp. 88-109.
- ^ 『三重存在の誤謬入門』, 第2版, 数理社, 1996年.
外部リンク
- 東京存在代数研究所アーカイブ
- 文京区数学資料室
- Existential Algebra Review
- 日本形式論理学会 年報
- Triple Witness Working Group