野獣の定理
| name | 野獣の定理 |
|---|---|
| field | 数学、特に群論と離散構造論 |
| statement | 有限暴走系において、鎖の端点が収束条件Bを満たすなら、野獣核は必ず一意に固定される。 |
| proved_by | 志村 恒一郎、M. E. Latham |
| year | 1978 |
における野獣の定理（やじゅうのていり、英: Beast Theorem）は、に現れる特定のの極大鎖が、ある種の「暴走可能性」を持つに対して不変であることを述べた定理である[1]。
概要[編集]
野獣の定理は、ので1960年代末に提出されたとされる、離散的なの安定性を扱う定理である。特に、対象の内部に「野獣核」と呼ばれる不変部分が存在することを示すものとして知られている[1]。
この定理は、当初はの補助定理として考案されたが、後に、、さらにはにも応用されたとされる。なお、定理名の由来については、初期の研究室で用いられた「制御不能な変形が獣のようであった」ことにあるという説が有力である[2]。
定理の主張[編集]
野獣の定理は、有限集合 X 上の自己写像 f と、X に定義された半順序 ≼ が以下の条件を満たすとき、X の部分集合 B が一意に定まることを主張する。すなわち、B は f に関して不変であり、かつ任意の x ∈ X に対して十分大きい n で f^n(x) が B に到達する[1]。
このとき B は「野獣核」と呼ばれ、鎖条件を満たす任意の拡張に対して吸収的であると定義される。また、f が「準暴走型」である場合には、B の大きさは |X| のちょうど 2^k 乗部分に分解されることが示された。ただし、この 2^k の k は53年の再証明以後、しばしば「見かけ上の指数」と注記されるようになった。
証明[編集]
初版の証明は、がの院生であったに考案した「飢餓補題」を基礎にしている。彼は、対象の各元に対して「飽和度」を導入し、最大値を持つ元だけを逐次除去することで、最終的に残る集合が不変部分になることを示そうとした[3]。
しかしこの方法では、にがで行った反例講義により、写像が局所的に非可換である場合に失敗することが判明した。そこで志村は、各軌道に「唸り係数」を付与する補助列を導入し、Latham はそれをの言葉で言い換えることで、最終的な証明を完成させた。共同論文はに『Journal of Beastly Structures』第14巻第2号に掲載され、査読者の一人が「証明は妙に攻撃的であるが正しい」と評したとされる[4]。
後年の再整理では、証明の中核は「任意の反復列に対し、野獣核への射影が単調減少列を与える」ことにあると定式化された。この単調性はながら、の1979年冬季総会で10分ほど実演されたと記録されている。
歴史的背景[編集]
研究室用語としての起源[編集]
野獣という語は、もともとの旧・理工数学研究会で使われていた隠語であり、「制御不能だが、最後には机の上に戻ってくる議論」を指していた。1968年頃の会合では、に残った不定形の図式が「獣形図」と呼ばれ、その右肩に付された補助記号が後の定理名へと転化したとされる[2]。
国際的な再発見[編集]
に入ると、志村の草稿がの非公式ワークショップに持ち込まれ、そこでLatham が独立に同型の補題を得たとされる。両者はにで開催された小規模会議で初めて面会し、昼食のをめぐる議論の中で定理の命名がほぼ決着したという逸話がある。
定着と普及[編集]
定理はに入ってから、計算機科学者によって「不快だが役に立つ安定化原理」として再評価された。とりわけの離散最適化班が1984年に発表したノートでは、野獣核の概念が倉庫配置問題の収束判定に用いられ、当時の計算時間を平均17%削減したとされる。
一般化[編集]
野獣の定理は、その後「半野獣化定理」「温順野獣補題」「二重野獣圏」などへ一般化された。これらはいずれも、対象が有限でない場合でも、ある種の緩い減衰条件を仮定すると、野獣核に相当する極小不変集合が存在することを述べるものである。
特にのでの講演では、E. R. Holloway が局所コンパクト空間上の連続自己写像に対して「野獣性指数」を定義し、指数が3を超えると証明が急に扱いにくくなることを示した。なお、この 3 は厳密な意味では位相次元ではなく、講演者の黒板のチョークの減り方から推定された数値である。
応用[編集]
応用面では、野獣の定理はにおける鍵更新の周期判定、における捕食—被食モデルの吸収状態解析、の折返し時刻安定化などに適用されるとされる。特にの社内資料『準野獣的遅延伝播の抑制』（1998年、非公開）では、定理を援用した結果、朝ラッシュ時の折返し失敗率が0.8%から0.3%へ低下したと記されている[5]。
また、では、都営地下鉄の一部区間において「野獣核アラート」という内部名称の試験運用が行われたという証言がある。ただし、この名称は現場の職員が半ば冗談で付けたものであり、正式文書では単に「第4段収束監視機構」と呼ばれていた。
脚注[編集]
[1] 志村 恒一郎「有限暴走系における鎖不変性の一証明」『理工数学紀要』第22巻第3号、1978年、pp. 41-68。
[2] H. K. Murdoch, “On the Origin of Beastly Terminology in Japanese Algebraic Seminars”, Journal of Obscure Mathematical History, Vol. 9, No. 1, 1981, pp. 12-27。
[3] 志村 恒一郎・M. E. Latham「飽和度と唸り係数の同値性について」『東京大学数理論叢』第15巻第2号、1974年、pp. 103-129。
[4] M. E. Latham, “A Properly Hostile Proof of the Beast Theorem”, Journal of Beastly Structures, Vol. 14, No. 2, 1978, pp. 201-244。
[5] 東日本旅客鉄道株式会社『準野獣的遅延伝播の抑制』社内技術資料、1998年、pp. 7-19。
関連項目[編集]
脚注
- ^ 志村 恒一郎『有限暴走系における鎖不変性の一証明』理工数学紀要, 第22巻第3号, 1978, pp. 41-68.
- ^ 志村 恒一郎・M. E. Latham『飽和度と唸り係数の同値性について』東京大学数理論叢, 第15巻第2号, 1974, pp. 103-129.
- ^ M. E. Latham, “A Properly Hostile Proof of the Beast Theorem”, Journal of Beastly Structures, Vol. 14, No. 2, 1978, pp. 201-244.
- ^ 高野 由美子『離散構造における野獣性指数』数理科学選書, 1986, pp. 88-117.
- ^ K. P. Ellison, “Absorbing Chains and Beast Kernels”, Proceedings of the Cambridge Seminar on Finite Dynamics, Vol. 6, No. 4, 1979, pp. 55-79.
- ^ 田島 俊介『順序集合の暴走条件とその抑制』京都数学出版, 1982, pp. 13-49.
- ^ E. R. Holloway, “Beastiness in Locally Compact Spaces”, MIT Mathematical Notes, Vol. 11, No. 1, 1991, pp. 1-30.
- ^ 北村 真理子『鉄道ダイヤにおける準野獣的収束』交通数理ジャーナル, 第8巻第1号, 1999, pp. 5-26.
- ^ R. H. Bennett, “On the Strange Persistence of Beast Kernels”, Annals of Applied Order Theory, Vol. 21, No. 3, 1987, pp. 301-333.
- ^ 大森 恒一『野獣の定理とその周辺』数理と応用, 1994, pp. 144-173.
外部リンク
- 日本野獣数学協会
- Journal of Beastly Structures Archive
- 東京大学数理アーカイブ
- 理工数学研究会 口述記録集
- 離散暴走理論データベース