スーパーの値引き率に関する定理
| name | スーパーの値引き率に関する定理 |
|---|---|
| field | 離散最適化、確率論、計量経済学 |
| statement | 値引き率列が単調減少かつ棚容量制約を満たすとき、期待残存価格の最小値は補助剰余項により閉形式で表される |
| proved_by | 田辺 恒一、M. R. Ellington |
| year | 1987 |
におけるスーパーの値引き率に関する定理（すーぱーのねびきりつにかんするていり、英: Theorem on Supermarket Discount Rates）は、の推移を記述するのについて述べた定理である[1]。とくに、閉店前の値引きシールがとして振る舞うとき、最終売上の下限が一定の条件のもとで一意に定まることが示される[1]。
概要[編集]
スーパーの値引き率に関する定理は、1980年代後半に東京都の流通数学研究会で提唱されたとされる定理である。売場におけるといった離散的な価格変化を、上の遷移として扱う点に特色がある[2]。
この定理は、単に安売りの規則性を述べるものではなく、閉店時刻、天候、の残数、客層の滞留時間を同時に変数として持ち込むことで、売上の振る舞いを予測する理論として構成された。なお、初期の論文では「1玉の残価が東京都心部と郊外で異なる」ことが実験的に示されたとされるが、この記述には要出典の注記が付くことが多い[要出典]。
定理の主張[編集]
定理は、あるp_0, p_1, ..., p_n が p_{k+1} = r_k p_k を満たし、かつ各 r_k が 1 より小さい有理数であるとき、最終時刻 T における残存売上 S(T) が
S(T) ≥ Σ_i w_i(1 - r_i) - λC
で下から評価される、という形で定式化される。ここで w_i は棚位置に依存する重み、λ は来客密度、C はの容量である[1]。
特筆すべきは、値引き率が 13%、27%、41% のように一見不規則に見える場合でも、一定の「棚再配置行列」A を導入すると、A のが 1 未満である限り、最適な値引き順序が一意に定まることである。これにより、同じ商品群でも港区の高級志向店舗との業務用店舗で異なるスケジュールが導かれるとされる。
証明[編集]
証明は、が考案した「貼付シールの可換化補題」と、M. R. Ellington による「閉店前需要の双対化原理」を接続することで与えられる。まず、各商品 x に対して値引き状態 d(x) を 0,1,2,... の離散値で表し、これを上の写像として解釈する。
次に、開店時から閉店時までの需要をで近似すると、ラベル変更の総コストはエネルギー関数 E(d) に一致することが示される。ここで E(d) の最小化は、実質的にではなく「の鳴動回数」を制約条件に組み込んだ変種の最適化問題に帰着する。
最後に、田辺と Ellington は1991年の補遺で、値引き棚に置かれたの最適解が「温度勾配 2.7℃」を境に二つの相に分かれることを示した。これは後に「二相値引き補題」と呼ばれるが、厳密にはに関する補題というより、売場の湿度制御に関する経験則であるともいわれる。
歴史的背景[編集]
この定理の起源は、に埼玉県の大型量販店で行われた「夜間廃棄削減実験」にさかのぼるとされる。実験では、閉店2時間前に、1時間前に、30分前にという段階値引きを導入したところ、廃棄率が月平均 14.6% から 6.1% に低下したという[3]。
この結果を見た流通業者が、単なる商慣習ではなく数理モデルとして整理する必要に迫られたことが、定理成立の直接の契機であった。とくにの小規模助成を受けたが、川崎市の倉庫付き店舗で採集した 8,412 件の値札履歴を解析し、初めて「値引き率は客の歩幅と相関する」と結論づけたとされる。
一方で、英語圏での受容はやや遅れた。M. R. Ellington がで講義録を配布した際、受講生の一人が「これは経済学ではなく、冷蔵ケースの詩学である」と評した記録が残る。なお、この発言は後年の回想録でのみ確認されており、引用の正確性には疑義がある。
一般化[編集]
定理はその後、単一店舗モデルから多店舗ネットワークへ拡張された。これにより、全体を一つの巨大な格子系として扱い、各店舗の値引き率が他店舗の広告放送により干渉する状況を記述できるようになった[4]。
さらに1998年には、の佐伯美緒らが「季節係数付きスーパー値引き率定理」を提示し、とで最適値引き曲線が逆転することを示した。ここでは気温だけでなく、近隣のや高校野球の開催有無までパラメータに含められており、定理の汎用性は大きく広がった。
また、確率的ゆらぎを導入した「確率値引き率定理」では、値引き札の貼り直し回数がに従うと仮定すると、閉店直前の最終利益がほぼ正規分布に収束することが示された。ただし、同論文の第3補題には「は棚の端に置くとよく売れる」という経験則が混入しており、後世の研究者からは本文と関係が薄いと指摘されている。
応用[編集]
応用分野は意外に広く、だけでなく、、にまで及ぶ。たとえば東京都の一部自治体では、備蓄品の入替え時期を決める際に、値引き率列をそのまま劣化率列に置き換えることで、廃棄と更新のコストを同時に最小化する試みが行われた[5]。
また、コンビニエンスストアの深夜帯売上を扱うモデルでは、この定理が「おにぎりの半額化は需要を 1.8 倍にするが、2回目の半額化は逆に客の猜疑心を増幅させる」という、やや感覚的な予測を与える。実地調査では、ある神奈川県の店舗で、同一ブランドのプリンを 3 段階で値引きしたところ、最後の段階だけ売上が落ちた例が報告されている。
さらに、の講義では、学生が「定理名にスーパーとあるので簡単そう」と油断した直後に、やが現れるため、試験対策上の抑止力としても用いられることがある。ある大学のシラバスには、この定理の問題を解くと「購買行動への理解が深まる」と書かれていたが、実際には数学的理解より値引き札の観察眼が鍛えられるとの評判が強い。
脚注[編集]
[1] 田辺 恒一「スーパーの値引き率と格子最適化」『流通数理紀要』第12巻第3号、1987年、pp. 41-68。
[2] H. S. Morrow, “On Discrete Discount Lattices,” Journal of Applied Grocery Mathematics, Vol. 4, No. 2, 1988, pp. 113-129。
[3] 埼玉県商業技術研究所編『閉店前価格調整の実験記録』埼玉県産業資料室、1981年。
[4] M. R. Ellington and 佐伯美緒, “Interstore Coupling in Markdown Networks,” Proceedings of the 9th International Symposium on Retail Algorithms, 1999, pp. 9-27。
[5] 横浜市備蓄調整室「劣化係数と値引き率の等価性について」『都市運用数学報告』第7巻第1号、2004年、pp. 5-19。
脚注
- ^ 田辺 恒一「スーパーの値引き率と格子最適化」『流通数理紀要』第12巻第3号, 1987, pp. 41-68.
- ^ M. R. Ellington, “Markdown Thresholds in Urban Retail Systems,” Tokyo Journal of Applied Combinatorics, Vol. 6, No. 1, 1989, pp. 22-49.
- ^ 佐伯美緒「季節係数をもつ値引き率モデルの安定性」『名古屋工業大学研究報告』第31巻第2号, 1998, pp. 77-101.
- ^ H. S. Morrow, “On Discrete Discount Lattices,” Journal of Applied Grocery Mathematics, Vol. 4, No. 2, 1988, pp. 113-129.
- ^ 田辺 恒一・M. R. Ellington「二相値引き補題の成立条件」『確率過程と流通』第8巻第4号, 1991, pp. 201-230.
- ^ 小野寺達也『閉店前経済の数理』東洋数理出版社, 1994.
- ^ Emily R. Vaughan, “Shelf-Shadow Operators and Clearance Dynamics,” Annals of Retail Theory, Vol. 11, No. 3, 2001, pp. 301-338.
- ^ 埼玉県商業技術研究所編『閉店前価格調整の実験記録』埼玉県産業資料室, 1981.
- ^ 横浜市備蓄調整室「劣化係数と値引き率の等価性について」『都市運用数学報告』第7巻第1号, 2004, pp. 5-19.
- ^ M. R. Ellington and 佐伯美緒, “Interstore Coupling in Retail Markdown Networks,” Proceedings of the 9th International Symposium on Retail Algorithms, 1999, pp. 9-27.
外部リンク
- 流通数理アーカイブ
- 閉店前最適化学会
- 棚値札研究センター
- Japanese Journal of Grocery Theorems
- Markdown Lattice Observatory