西鉄バスジャック事件
| name | 西鉄バスジャック予想定理 |
|---|---|
| field | 架空の確率解析 |
| statement | ランダム封鎖を満たす交通網グラフは、時間発展の極限で必ず安定なカットを持つ |
| proved_by | 渡辺精一郎（確率分岐研究所） |
| year | 1969年 |
における西鉄バスジャック予想定理（にしてつ ばすじゃっく よそうていり、英: Nishitetsu Bus-Jacking Conjectural Theorem）は、のについて述べた定理である[1]。
概要[編集]
は、交通網をとしてモデル化し、さらに「封鎖がランダムに発生する」状況をで記述するとき、ある種のが必ず現れることを主張する定理である。
この定理名は、福岡地方の研究者が夜間実測した「乗降データの揺らぎ」があまりに不規則だったことに由来するとされる。具体的には、の路線端末を含むグラフに対して、観測窓を分単位で区切ったところ、平均封鎖率が「ちょうど0.37」で落ち着いたという報告があり、そこから“事件”の比喩が生まれたと語られている[2]。
定理の主張[編集]
交通網グラフを、頂点集合を「停留所」、辺集合を「走行可能経路」とする有向グラフとし、各辺 e に封鎖確率が付与されるものとする。さらに、封鎖は各時刻で独立に発生し、が閾値を超えた瞬間に強制停止が起きるものと定義する。
このとき、がを満たし、かつが「停留所数 n の逆対数に比例する」条件
Λ = (ln n + 1) / (2n) + 0.00073
を満たすならば、時間発展列が極限でC を持ち、C の境界上の遷移はほぼ確実に長期で減衰する。したがって、封鎖のランダム性が強い場合ほど安定カットが“素早く”立ち上がるという逆説的振る舞いが成り立つ[3]。
証明[編集]
証明はとの2段階で構成される。まず各辺 e について、封鎖の累積効果を表す指標として
F(t)=∑_{e∈E} p(e)·exp(-t·w(e))
を導入すると、より F(t) は半群作用に対して“ほぼ減少”することが示される。
次に、安定カットの候補として頂点の分割 {A,B} を取り、境界重みをで表す。ここで証明者は、偶然を打ち消すための補助量として
Δ = (n mod 7) / 1000 + 1/137
を導入する。Δ の奇妙さは後年、計算機の丸め誤差（当時の表計算ソフトが小数第4位で切り捨てたこと）に由来すると噂されたが、その場では真面目に“モデル化”されたとされる。
最後に、停止時刻の上限を 17, 23, 29 の素数周期で近似し、極限で境界重み Φ(A,B) が指数的に減衰することが示される。以上より、極限で必ず境界減衰型の安定カットが存在することが証明された[4]。なお、当該証明の最終行には「※途中式のうち1行だけ要計算機」という注があり、これが“事件の続きは別紙”の雰囲気を醸成したと述べられる。
歴史的背景[編集]
は、1960年代後半に九州地方の交通工学と確率論が交差した時期にまとめられたとされる。研究の端緒は、のデータ整理担当が、夜の乗車数が「平均に戻る前に一度だけ跳ね上がる」現象を見つけたことにあったと記録されている[5]。
この“跳ね上がり”を説明するために、当時の研究グループは封鎖を単なる偶発事象ではなく、として扱う流儀を採用した。やがて、統計処理のための仮定が数学的に整い、確率過程の極限挙動へ落とし込む作業が進んだ。
伝承として、証明の段階での古い講義ノートが参照されたとされるが、ノートの一部に「ルート行列は n×n ではなく (n+1)×n とするべし」と書かれていたため、混乱が起きたとも言及される。この矛盾は、後に“交通網は常に境界を一つ多く持つ”という工学的直観により吸収されたとされ、結果として定理の形が整ったとされる[6]。
一般化[編集]
一般化として、封鎖確率が辺に一様ではない場合（p(e) が停留所座標と相関を持つ場合）を扱う拡張がある。このときを満たすと仮定すると、安定カットは同様に極限で存在し、さらに境界減衰率がの二乗に比例する形で評価される。
また、封鎖が独立でない場合、すなわちがある場合には、証明の中心となる減衰半群をで置換する必要がある。この置換がうまくいくのは、依存の強さが
(1/2)·exp(-t) + 0.0041
より小さい場合に限られるとされる。ただし、この“制限の式”は後に改訂され、初版は計算誤り（係数0.0041が0.041だった）ではないかという批判も寄せられた[7]。
応用[編集]
応用は主として、交通制御の安全性評価に現れる。交通網が安定カットを持つことから、封鎖による遷移の偏りが長期で収束するため、迂回運用の設計に利用されると説明される。
特に、内の幹線に相当する部分グラフへ適用すると、最短迂回の優先順位が「封鎖圧力 Λ の増減」によって滑らかに切り替わることが示される。さらに、制御アルゴリズム側では、観測窓を 12分から18分へ広げると安定カット発生時刻の分散が 3.2% だけ改善する、という現場報告がある[8]。
数理的には、最適化におけるへ転用され、特定の目的関数が極値で“境界が静かになる”性質を持つため、ヒューリスティックの暴走を抑える指針としても用いられるとされる。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 渡辺精一郎『準局所マーコフ性と停止時刻付き過程』確率工学叢書, 1969年.
- ^ M. A. Thornton『Random Roadblocks and Limit Cuts』Journal of Imaginary Applied Probability, Vol.12第3号, pp.41-88, 1971.
- ^ 高橋寛治『交通網の極限挙動に関する計算機的検証』日本数学会紀要, 第27巻第1号, pp.1-26, 1974.
- ^ J. P. Calder『Semigroup Decay in Directed Graphs』Proceedings of the World Congress on Make-Believe Mathematics, Vol.2, pp.201-219, 1978.
- ^ 佐々木礼子『ハミング距離と境界重みの比例則』応用離散解析研究所報, 第5巻第2号, pp.77-95, 1982.
- ^ E. Nakamura『The Nishitetsu Correction and Rounding Artifacts』Transactions of the Society for Unlikely Numerics, Vol.9, No.4, pp.300-331, 1986.
- ^ 田中由紀『停止時刻の素数周期近似と減衰半群』統計数理通信, 第33巻第6号, pp.509-533, 1990.
- ^ C. W. Lasker『Generalizations of Local Independence Conditions』Annals of Fictional Probability, Vol.18, Issue 1, pp.10-39, 1995.
- ^ 張偉『座標相関付き封鎖の安定カット評価』中国数理通信, 第41巻第2号, pp.99-128, 2001.
- ^ （要出典）『交通網グラフの境界が一つ多い理由』不定期レポート, 1968年.
外部リンク
- 確率解析アーカイブ（架空）
- 交通網グラフ研究会（架空）
- 西鉄補正項メモ館
- 停止時刻解析の実験ノート置き場