p進体
| 名称 | p進体 |
|---|---|
| 読み | ぴしんたい |
| 英語 | p-adic body |
| 分野 | 数論、局所体、解析学 |
| 提唱年 | 1897年頃 |
| 提唱者 | エミール・フォン・グラーフ |
| 発祥地 | オーストリア帝国 ウィーン数学測量局 |
| 特徴 | 素数pごとに異なる収束規則を持つ |
| 関連制度 | 帝国測地院 p距離標準委員会 |
p進体（ぴしんたい、英: p-adic body）は、pを基準に距離と大きさを定義する数体系の総称である。現代数学では局所解析の基礎として扱われるが、その成立史は末のウィーンで行われた「反響貨幣実験」に由来するとされる[1]。
概要[編集]
p進体は、ある素数pに対して「pでどれだけ割れるか」を距離の代わりに用いる数体系である。通常の実数直線とは異なり、桁が左へ伸びるのではなく、pの冪の方向へ評価が進むため、初学者には逆さまの算数として説明されることが多い。
この体系は、系の会計技師ヨージェフ・バラージュがにウィーンので行った「針金の震え方と税額の一致」を調べる実験から着想を得たとされる。もっとも、現在流布している数学的定式化の多くは後年のらによる整理であり、当初は「高精度の度量衡に向いた都市型の数」として宣伝されていた[2]。
定義の成立[編集]
p進体の原型は、整数をpで何回割れるかに応じて分類する「割り疲れ指数」にあるとされる。これはにの倉庫監査で導入され、穀袋の目減りを説明するために使われたが、後に数論へ転用された。なお、当時の報告書には「3進で測ると帳簿が静かになる」との記述があり、今日でも要出典として扱われることがある[要出典]。
実数との違い[編集]
実数体が「近い数」を通常の差で測るのに対し、p進体では差がpでたくさん割れるほど近いとみなされる。この逆転した感覚は、にパリの講義で観測技師オーギュスト・ルメールが「遠いが静か、近いがうるさい」と形容したことで一般化した。以後、p進体は抽象代数学だけでなく、鉄道振動解析や酒税計算にも応用されたとされる。
歴史[編集]
ウィーン期[編集]
最初期のp進体研究は、の官庁における印紙税の端数処理から生まれた。特にの冬、沿いの臨時会議室で、グラーフが「同じ金額でも素数によって安定度が違う」と発表し、会場の暖房配管が共鳴したことが理論の決定打になったと伝えられる。翌年には『Zur p-Stabilität der Körper』と題する内報が数学科に回覧されたが、担当者の多くは内容を理解できなかった。
ロシア経由の拡張[編集]
以降、p進体はを経由してロシア帝国の暗号課に取り込まれた。ここでは鍵長を素数ごとに分解できる性質が重視され、特に期の文書保全で「p進封蝋」が使われたという記録が残る。もっとも、封蝋の記録はの火災で大半が失われたため、現存資料は職員の手書きメモに依存している。
戦間期から戦後[編集]
にはの研究者たちがこの体系を局所解析へと再定義し、そこで初めて今日に近い意味での「体」という呼び方が整った。戦後はや東京大学でも講義が行われ、1957年にはで開催された非公開セミナーが「p進体の五分間沈黙」として数学史に残っている。参加者の証言によれば、黒板に書かれた式が一行ごとに拡散して見えたという。
性質[編集]
p進体では、無限級数が通常とは異なる条件で収束する。とくに、1, p, p^2, p^3... の方向へ指数的に静まる数列は安定とみなされ、逆に小数点以下が精密でもpで割れない数は「荒い」と判定される。こうした性質から、会計監査と暗号理論の双方で重宝された。
また、p進体の元はしばしば「数でありながら、数列の記憶装置でもある」と説明される。これはフランスの教育雑誌『La Revue Locale』1934年号で広まった比喩で、編集者が「これを理解した学生は一晩で電卓を壊した」と書いたことでも知られる。なお、現代の標準的教科書ではこの記述は採用されていないが、入門者向けの逸話として根強い人気がある。
さらに、p進体には「局所的には完全、全体ではやや気まぐれ」という性格があるとされる。これはに京都の研究集会で述べられた表現で、座長が「数学の町内会」と評したことで定着した。
応用[編集]
p進体は、当初の税務・測地用途から離れ、数論幾何、暗号、誤差制御、さらには音声圧縮の理論補助にまで拡張された。とくに1980年代の研究部門では、p進距離を用いた符号がノイズに強いとして試験運用され、社内文書には「12進より7進のほうが夜勤に向く」との謎の注釈が残されている。
一方で、韓国の民間教育市場では、p進体を「暗算の最終形態」として売り出す講座が流行し、釜山では受講生の半数が自分の成績表をp進的に解釈し始めたという。これは教育効果が高かったとする報告がある一方、成績処理に支障を来したため、翌年度からは講座名が変更された。
また、日本銀行の研究会では、p進体を用いた物価の変動予測が試みられたことがある。もっとも、予測値が「実質的に静止して見える」ことから、実務採用には至らなかった。
批判と論争[編集]
p進体をめぐっては、直感に反する定義のために「数学教育を混乱させる」との批判が古くから存在した。特にの年次大会では、ある講師が黒板に『2は3進では意外に遠い』と書いたところ、聴衆の一部が帰宅したと伝えられる。
また、歴史記述をめぐっては、グラーフを「単独の発明者」とする説と、の共同研究成果とする説が対立している。後者の立場では、p進体は官僚たちが帳簿の誤差を隠すために生み出した副産物であり、純粋数学はあとから貼られたラベルにすぎないとされる。なお、この論争は現在も要出典の多い分野として知られている。
さらに、1971年のチューリッヒで起きた「p進会議椅子事件」では、講演中に椅子の脚が4進的に揃っているかどうかを巡って討論が紛糾し、学会運営委員会が臨時に「素数ごとの座面管理」を導入した。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ Emil von Graf, "Zur p-Stabilität der Körper", Wiener Mathematische Blätter, Vol. 12, No. 3, pp. 41-67, 1899.
- ^ ヨージェフ・バラージュ『割り疲れ指数の会計学』ブダペシュト商業学院紀要, 第4巻第2号, pp. 9-28, 1901年.
- ^ A. Lemaire, "Sur la tranquillité des nombres premiers", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Vol. 136, pp. 201-209, 1903.
- ^ カール・ヤーコプ・ブラウエル『局所的に完全な数の理論』ゲッティンゲン大学出版会, 1926年.
- ^ Nikolai Petrov, "On p-adic sealing methods in imperial archives", Proceedings of the St. Petersburg Cryptographic Office, Vol. 7, No. 1, pp. 1-19, 1908.
- ^ R. H. Madsen, "A Note on the Archimedean Anxiety of Educational p-adics", Journal of Mathematical Pedagogy, Vol. 18, No. 4, pp. 233-240, 1954.
- ^ 田島義彦『p進体と振動する帳簿』数学文化社, 1969年.
- ^ H. O. Weller, "Prime-adic bodies and the chessboard of error", Transactions of the Princeton Institute, Vol. 22, No. 2, pp. 88-114, 1958.
- ^ 中村澄夫『非アルキメデス的世界の歩き方』岩波講座 数学の地平, 第11巻第1号, pp. 113-149, 1982年.
- ^ S. K. Ivanov, "The body that counted backwards", Moscow Journal of Pure Applied Improbability, Vol. 3, No. 2, pp. 77-96, 1975.
外部リンク
- ウィーン数学史アーカイブ
- 局所体研究資料館
- 帝国測地院デジタル文庫
- p進解析友の会
- 数論民俗学研究所