オッペケペーの定理
| name | オッペケペーの定理 |
|---|---|
| field | 数学、位相力学、形式解析 |
| statement | 周期写像fがオッペケ条件と呼ばれる局所可換性を満たすとき、任意の半径r>0に対して、ある正規化写像Φ_rが存在し、fの変動係数がr/π倍に収束する。 |
| proved_by | 槇原 俊介、E. L. Whitcombe |
| year | 1978年 |
数学におけるオッペケペーの定理（おっぺけぺーのていり、英: Oppekepe Theorem）は、に対するの性質について述べた定理である[1]。特に、ある種のがを満たすとき、その変動が局所的にとの両方を同時に起こすことを示した定理として知られている[1]。
概要[編集]
オッペケペーの定理は、の反復に伴って生じる微小な揺らぎが、ある条件下で上に等間隔の零点列を形成することを主張する定理である。名前は、証明中に現れる補助列の符号が「オッペケペー」と聞こえると東京大学の演習室で冗談半分に呼ばれたことに由来するとされる[2]。
この定理は当初、の周辺的な小定理として扱われていたが、後にやにも接続が見いだされ、後半の日本数学会で妙に人気を博した。とりわけ、証明の最後に用いられる補題が「正しいが読み上げると笑ってしまう」と評され、学部生向けの口頭試問でしばしば引用されるようになった[3]。
定理の主張[編集]
定理は、可換環R上で定義された周期写像f: R^n→R^nが、オッペケ条件と呼ばれる3つの仮定を満たすときに成立する。すなわち、(i) 反復f^kがある上で一様連続であり、(ii) 変動核V(f)が偶数次の項について対称であり、(iii) 係数列a_mがm=0からm=2^rまでの範囲で平均0を保つ、という条件である。
このとき、任意のλに対し、正規化された差分列Δ_λ(n)は、n→∞でに漸近する。さらに、零点集合Z(f,λ)は、十分大きいNに対してN個の点を含む各円周上で少なくとも2点の反対称対を持つことが示される。要するに、完全な秩序と完全な混沌の中間に、妙に整った「掛け声のような規則性」が現れるのである[1]。
証明[編集]
標準的な証明は、まず補助写像ψを導入し、fの反復列をとして展開するところから始まる。次に、オッペケ補題と呼ばれる局所対称性の評価を用いて、各周波数成分が互いに打ち消し合う範囲と増幅し合う範囲を切り分ける。この段階で、証明者はしばしば「ここで符号をひっくり返す」と記しているが、初版の論文では実際に論文校正者が3回ほど赤字を入れたという記録が残る[4]。
その後、に似た拡張原理を模した補助命題を適用し、局所的に得られた評価を大域的な不等式へ持ち上げる。最後に、正規化写像Φ_rの極限を取り、変動係数がr/πに収束することが導かれる。この収束は、厳密には昭和53年の補遺で初めて完全に書き下されたもので、本文の初版では「読者に明らかである」とだけ記されていた[5]。
なお、槇原の草稿には「オッペケペー係数は0に近いほど望ましい」とあるが、これは後に弟子のが「0に近いのではなく、0の周囲で踊るのである」と言い換えたことで定着したとされる。
歴史的背景[編集]
この定理の起源は、1974年春にで開かれた非公式研究会にさかのぼるとされる。当時、槇原俊介は周期写像の収束速度を調べていたが、黒板に書いた補助列が不自然に左右対称であったため、見学に来ていたが「That looks like an oppekepe pattern」と発言したのが契機であったという[6]。
1976年には東京工業大学の共同セミナーで中間報告が行われたが、発表スライドの一枚目に大きく「オッペケ」とだけ書かれていたため、聴衆の半数が新しい関数族の名前だと誤解した。翌年、誌に投稿された初稿では正式名称が「O. P. P. E. Kepe theorem」と分割表記されていたが、編集部の判断で現在の表記に統一されたとされる[7]。
社会的には、この定理は一種の「難しいのに口に出すと楽しい」定理として扱われ、からにかけて日本の大学院入試の口頭試問に妙な頻度で登場した。ある年度の大阪大学では、試験官が受験生に「オッペケ条件を説明せよ」とだけ尋ね、受験生が条件ではなく民謡のようなものを歌い始めたという逸話が残っている[要出典]。
一般化[編集]
後年、この定理はや上の作用へ一般化された。特ににのC. R. Ellsworthが示した「拡張オッペケペー補題」により、係数列が実数でなくても、ある種の符号付き確率測度であれば同様の収束が成り立つことが示された[8]。
さらにには名古屋大学の小林圭介が、オッペケ条件をに移植した「p進オッペケ型定理」を発表した。ただし、この一般化ではr/πの代わりにr/log pが現れ、共同研究者の間では「急に理屈が薄くなった」と評された。なお、一般化の最終形では、補助写像Φ_rが円環ではなく上に定義される場合もあり、証明の図がやたらとねじれていることで有名である[9]。
応用[編集]
オッペケペーの定理の応用先として最も知られているのは、における位相ずれ補正である。1980年代のでは、オッペケ型の零点配置を利用した雑音除去アルゴリズムが試作され、送信機の発振が17%ほど安定化したと報告された。ただし、この数値は後に再計算され、実際には16.8%であったことが判明している[10]。
また、では、周期写像に隠された偽乱数系列の検出に使われることがある。とくに、ある系列がオッペケ条件を満たすと、暗号文中の特定ビットが周期で偏ることがあるため、解析者は「見た目より規則的である」と判断できる。なお、の一部の研究では、地震波の擬似周期成分の判定に応用されたが、現場の技術者からは「名前だけで現象が弱く見える」と苦情が出たという。
教育面では、北海道大学の解析学講義で「オッペケペーの定理は、一見ふざけているが中身は堅い」という例として扱われ、毎年およそ40名の学生が定理名を暗記できずに答案で「オッペケペーの法則」と書くことで知られる。
脚注[編集]
関連項目[編集]
脚注
- ^ 槇原俊介「周期写像におけるオッペケ型零点配置」『日本数学会誌』第31巻第4号, 1978, pp. 211-238.
- ^ E. L. Whitcombe, “On the Oppekepe Regularity in Circular Dynamics,” Journal of Abstract Variations, Vol. 12, No. 2, 1979, pp. 44-67.
- ^ 山岸弥生「補助列の符号反転とその教育的効果」『数理教育研究』第8巻第1号, 1981, pp. 5-19.
- ^ 槇原俊介『オッペケペー定理の証明と周辺補題』東京数学出版, 1980.
- ^ K. O. Renshaw, “A Note on the Oppeke Condition,” Proceedings of the International Symposium on Periodic Maps, 1982, pp. 103-116.
- ^ 小林圭介「p進オッペケ型定理の構成」『名古屋大学数理論叢』第19巻第3号, 2001, pp. 155-182.
- ^ C. R. Ellsworth, “Noncommutative Extensions of the Oppekepe Lemma,” Michigan Mathematical Review, Vol. 27, No. 1, 1989, pp. 1-29.
- ^ 電気通信研究所編『位相安定化と振動列の応用』丸善未来社, 1987.
- ^ 森下浩一「オッペケ条件の歴史的変遷」『数学史通信』第14巻第2号, 1994, pp. 77-90.
- ^ A. N. Feldman, “The Circle, the Handle, and the Mobius: Generalized Oppekepe Forms,” Annals of Synthetic Analysis, Vol. 41, No. 3, 2006, pp. 301-333.
外部リンク
- 日本オッペケペー定理研究会
- 数理解析アーカイブ・オッペケ資料室
- 周期写像百科事典
- 東京圏数学史データベース
- 架空定理レビュー・ジャーナル